Программный комплекс τ-полнота (B, S)-рынка в случае специальной хааровской фильтрации при допущении арбитража.

Аннотация

Шишкова А.Н.

Рассматривается программный комплекс Τ-полноты (В,S)-рынка относительно специальной хааровской фильтрации. 

Ключевые слова: полнота,τ-полнота, арбитраж, (B,S)-рынок

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Рассматриваемый программный комплекс предоставляет возможность пользователю задать компоненты -рынка относительно специальной хааровской фильтрации посредством ввода конечного момента времени , последовательности строго положительных цен банковского счёта и последовательности строго положительных цен акций в моменты времени . Далее предоставляется возможность ввода случайной величины на атомах , определяющих рынок в конечный момент времени.

Так начинает свою работу основная программа, переходящая в последовательное выполнение процедур MO, MATR, MGAUS, HEDG, описанных ниже.

Процедура MO находит -алгебру  , совпадающую с одной из , в случае, если случайная величина является моментом остановки. Теоретическая база, положенная в основу факта совпадения с одной из -алгебр , изложена в лемме 3[1]. Поиск номера осуществляется по алгоритму, опирающемуся на лемму 1[1] и следствие леммы 2[1]. Здесь также предусмотрена возможность завершения программы в случае, когда случайная величина   не является моментом остановки.

Процедура MATR путём перехода к -рынку[2] формирует матрицу коэффициентов размером , состоящую из матриц вида

,

,

           …………………………………………….....

Ранг матрицы отвечает за полноту рассматриваемого рынка[1]. Процедура MGAUS осуществляет элементарные преобразования над матрицей  , приводя её к  виду, при котором первые столбцов матрицы имеют единичный вид.. Процедура опирается на общеизвестный факт, говорящий о том, что с помощью конечного числа элементарных преобразований любую матрицу можно привести к ступенчатому виду. В [1] доказано, что рынок полон по отношению к моменту времени тогда и только тогда, когда матрица имеет ранг, равный .

Далее путём подсчёта ненулевых строк матрицы определяется её ранг, что позволяет сделать вывод о -полноте рынка. В случае отсутствия  -полноты работа программы завершается.

В случае наличия  -полноты пользователю  предоставляется возможность ввести компоненты финансового обязательства а атомах -алгебры . Процедура HEDG подсчитывает компоненты самофинансируемого портфеля , реплицирующего заданное финансовое обязательство.

Рассмотрим работу программы на примере.

Пример.  Рассмотрим стохастический базис , и , причём  - полный набор атомов алгебры .

Такая фильтрация называется специальной хааровской[3].

Положим и зададим последовательность цен банковского счёта и последовательность цен акций акций на атомах алгебр в различные моменты времени:

Зададим также случайную величину :

Процедура MO определит, что случайная величина является моментом остановки и совпадает с .

Процедура MATR осуществит переход к -рынку[2]:

Далее будет сформирована матрица :

Процедура MGAUS  приведёт матрицу D к виду

Здесь определится, что ранг матрицы равен 4, то есть она имеет полный ранг. Выдаётся сообщение о полноте относительно .

Процедура HEDG предлагает задать компоненты финансового обязательства на атомах

Подсчитываются компоненты самофинансируемого портфеля , реплицирующего данное финансовое обязательство

Литература

1.  Шишкова А.Н. Критерий полноты   -рынка в случае специальной хааровской фильтрации при допущении арбитража // Известия высших учебных заведений: Северо-Кавказский регион, 2010, №4-c.24-27.

2. Белявский Г.И., Мисюра В.В., Павлов И.В. Ранговый критерий полноты одного арбитражного рынка при допущении арбитража.// ОППМ, М: ТВП, 1999, т.6, №1, с.121122.  

3.  Волосатова Т.А. О хааровских интерполяциях финансовых рынков, приводящих к полным рынкам.  ОППМ, М: ТВП, 2004, т. 11, №.3, с. 505-506.