Численное решение задачи для плоской области со свободной границей
Аннотация
Разработан численный алгоритм решения задачи математической физики, заключающейся в определении минимума квадратичного функционала, заданного в области, содержащей свободную границу. Неизвестная граница определяется из условия минимальности функционала вместе с неизвестными функциями. Рассмотрено решение задачи для плоской области методом сеток.
Ключевые слова: алгоритм, функционал, минимум, генетический алгоритм, сетка, функция, область, граница
05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
Построение математических моделей некоторых физических процессов и явлений часто сводится к краевым задачам математической физики, содержащим изначально неизвестные поверхности или границы, которые требуется определить в ходе решения.
Начиная с работ Дж.Гиббса[1], для решения задач со свободными границами применяются вариационные методы[1,2]. Теория таких задач достаточно развита. С необходимостью решения подобных задач сталкиваются в строительстве, машиностроении и других областях [3,4].
Идея решения заключается, как правило, в определении минимума соответствующего функционала. При варьировании нужно рассматривать не только неизвестные функции, но и положение свободной границы. В итоге математическая задача сводится к поиску 
, где 
- некоторые функции из определенного пространства 
, а 
– положение неизвестной или свободной границы.
В данной работе предлагается численный алгоритм для решения двумерной задачи со свободной границей.
Постановка задачи
В прямоугольной области, где задано уравнение 
, где
и условия Дирихле на границе, необходимо определить положение неизвестной границы Г, на которой заданы условия согласования 
.
Граница Г находится из условий минимума некоторого функционала
Алгоритм решения
1.Задаем 
и тип границы.
2.Строим сетку: 
– количество точек на 
; 
– количество точек на 
;
3.В массивы 
, 
помещаем узлы сетки, через которые проходит граница (border). 
хранит координаты 
границы, а 
– координаты 
.
4.Строим на графике сетку и полученную границу.
5.Получаем множества (multitrudes) 
и 
. 
будет храниться в массивах 
– узлы по 
и 
– узлы по 
; 
будет храниться в массивах 
– узлы по 
и 
– узлы по 
.
6.Определяем местоположение границы, запоминаем координаты узлов границы в массивах 
и 
.
7.Присваиваем границе неизвестную постоянную a – массив неизвестных.
8.Ищем 
– решение на 
:
a. Записываем граничные условия 
.
-
Вычисляем
в узлах сетки на 
– 
. -
Для внутренних узлов составляем уравнения, пользуясь разностными формулами[13].Уравнение
принимает вид
.
9.Решаем полученную систему уравнений.
10.Получаем решение 
, которое зависит от 
.
11. Аналогично повторяем действия для 
:
-
Записываем граничные условия
. -
Вычисляем
в узлах сетки 
– 
. -
Для внутренних узлов составляем уравнения, пользуясь разностными формулами[13].Уравнение
принимает вид
. Получаем решение 
, которое зависит от 
.
12.Используем условие согласования на границе 
для поиска 
.
13..Определяем нормаль на границе и составляем разностные уравнения, используя формулы[13]
14.Получаем уравнение 
для каждого узла границы.
15.Из системы таких уравнений находим a.
16. Так как a найдено, um и up тоже известны.
17.Поиск функционала
1. Слагаемое 
превращается в 
Здесь
, 
, 
, 
.
2.Слагаемое 
превращается в 
Здесь 
.
3.Слагаемое 
превращается в 
, где
.
4. Функционал 
.
19. Запоминаем функционал и границу, для которой он был найден.
20. Рассматриваем остальные возможные границы заданного типа, для каждой из них ищем функционал и запоминаем его.
21. Находим минимальное значение функционала.
Решение модельной задачи.
Рассмотрим решение модельной задачи для эллиптического уравнения[21]
В прямоугольнике с центром в начале координат, высотой единица и шириной, равной двум. На сторонах прямоугольника поставлены однородные условия Дирихле. Известно точное решение 
.
Рис.1
Рис. 2
Рис.3
Заключение
Для двумерной задачи с неизвестной границей, заданной в прямоугольной области, разработан численный алгоритм решения.
Литература
1. Лихачев В.А., Кузьмин С.Л., Каменцева З.П. Эффект памяти формы. – Л.:Изд-во ЛГУ, 1987.
2. Материалы с эффектом памяти формы / Под ред. В.А.Лихачева. – Спб.: Изд-во НИИХ СПбГУ,1998.
3. Баранова Д.А. Математическая модель деформирования подкрепленных оболочек вращения при учете различных свойств материала. [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2012, №2. – Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n2y2012/745 (доступ свободный) – Математическая модель деформирования подкрепленных оболочек вращения при учете различных свойств материала.
4. Хекман К. Двумерная математическая модель жидкости водоема с учетом наличии на поверхности ледяной пластины. [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2011, №4. – Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n4y2011/583 (доступ свободный) – Двумерная математическая модель жидкости водоема с учетом наличии на поверхности ледяной пластины.
5. Бахвалов Н.С. Численные методы. – М.:Наука, 1985.
6. Зеньковская С.М., Моршнева И.В., Цывенкова О.А. Методические указания к практикуму по курсу «Численные методы». Методы решения задач Коши и краевых задач. – Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 2001.
7. Конюшенко В.В.,Matlab. Начало работы с Matlab.