×

Вы используете устаревший браузер Internet Explorer. Некоторые функции сайта им не поддерживаются.

Рекомендуем установить один из следующих браузеров: Firefox, Opera или Chrome.

Контактная информация

+7-863-218-40-00 доб.200-80
ivdon@ivdon.ru

Численное решение задачи для плоской области со свободной границей

Аннотация

А. М.Онишкова

Разработан численный алгоритм решения задачи математической физики, заключающейся в определении минимума квадратичного функционала, заданного в области, содержащей свободную границу. Неизвестная граница определяется из условия минимальности функционала вместе с неизвестными функциями. Рассмотрено решение задачи для плоской области методом сеток.

Ключевые слова: алгоритм, функционал, минимум, генетический алгоритм, сетка, функция, область, граница

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Построение математических моделей некоторых физических процессов и явлений часто сводится к краевым задачам математической физики, содержащим изначально неизвестные поверхности или границы,  которые требуется определить в ходе решения.
Начиная с работ Дж.Гиббса[1], для решения задач со свободными границами применяются вариационные методы[1,2]. Теория таких задач достаточно развита. С необходимостью решения подобных задач сталкиваются в строительстве, машиностроении и других областях [3,4].
Идея решения заключается, как правило, в определении минимума соответствующего функционала. При варьировании нужно рассматривать не только неизвестные функции, но и положение свободной границы. В итоге математическая задача сводится к поиску , где  -  некоторые функции из определенного пространства , а  – положение неизвестной или свободной границы.
В данной работе предлагается численный алгоритм для решения двумерной задачи со свободной границей.
Постановка задачи
В прямоугольной области, где задано уравнение , где и условия Дирихле на границе, необходимо определить положение неизвестной границы Г, на которой заданы условия согласования .



Граница Г находится из условий минимума некоторого функционала

Алгоритм решения

1.Задаем  и тип границы.
2.Строим сетку:            – количество точек на  – количество точек на ;
 
3.В массивы ,  помещаем узлы сетки, через которые проходит граница (border). хранит координаты  границы, а  – координаты .
4.Строим на графике сетку и полученную границу.
5.Получаем множества (multitrudes)  и .  будет храниться в массивах  – узлы по  и – узлы по будет храниться в массивах  – узлы по  и  – узлы по .
6.Определяем местоположение границы, запоминаем координаты узлов границы в массивах  и .
7.Присваиваем границе неизвестную постоянную a – массив неизвестных.
8.Ищем  – решение на :
a.   Записываем граничные условия .

  1. Вычисляем  в узлах сетки на .
  2. Для внутренних узлов составляем уравнения, пользуясь разностными формулами[13].Уравнение  принимает вид 

.
9.Решаем полученную систему уравнений.
10.Получаем решение , которое зависит от .
11. Аналогично повторяем действия для :

  1. Записываем граничные условия .
  2. Вычисляем в узлах сетки .
  3. Для внутренних узлов составляем уравнения, пользуясь разностными формулами[13].Уравнение  принимает вид 

          . Получаем решение , которое зависит от .
12.Используем условие согласования на границе для поиска .
13..Определяем нормаль на границе и составляем разностные уравнения, используя формулы[13]




14.Получаем уравнение  для каждого узла границы.
15.Из системы таких уравнений находим a.
16. Так как a найдено, um и up тоже известны.
17.Поиск функционала
1. Слагаемое  превращается в                  
Здесь
, , , .
2.Слагаемое  превращается в
Здесь .
3.Слагаемое  превращается в , где

.
4. Функционал .
19.  Запоминаем функционал и границу, для которой он был найден.
20. Рассматриваем остальные возможные границы заданного типа, для каждой из них ищем функционал и запоминаем его.
21. Находим минимальное значение функционала.
Решение модельной задачи.
Рассмотрим решение модельной задачи для эллиптического уравнения[21]

В прямоугольнике с центром в начале координат, высотой единица и шириной, равной двум. На сторонах прямоугольника поставлены однородные условия Дирихле. Известно точное решение .




Рис.1

Рис. 2


Рис.3                          

Заключение
Для двумерной задачи с неизвестной границей, заданной в прямоугольной области, разработан численный алгоритм решения.

Литература

1. Лихачев В.А., Кузьмин С.Л., Каменцева З.П. Эффект памяти формы. – Л.:Изд-во ЛГУ, 1987.
2. Материалы с эффектом памяти формы / Под ред. В.А.Лихачева. – Спб.: Изд-во НИИХ СПбГУ,1998.
3. Баранова Д.А. Математическая модель деформирования подкрепленных оболочек вращения при учете различных свойств материала. [Электронный ресурс]  // «Инженерный вестник Дона», 2012, №2. – Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n2y2012/745 (доступ свободный) – Математическая модель деформирования подкрепленных оболочек вращения при учете различных свойств материала.
4. Хекман К. Двумерная математическая модель жидкости водоема с учетом наличии на поверхности ледяной пластины. [Электронный ресурс]  // «Инженерный вестник Дона», 2011, №4. – Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n4y2011/583 (доступ свободный) – Двумерная математическая модель жидкости водоема с учетом наличии на поверхности ледяной пластины.
5. Бахвалов Н.С. Численные методы. – М.:Наука, 1985.
6. Зеньковская С.М., Моршнева И.В., Цывенкова О.А. Методические указания к практикуму по курсу «Численные методы». Методы решения задач Коши и краевых задач. – Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 2001.
7. Конюшенко В.В.,Matlab. Начало работы с Matlab.