Двумерная математическая модель жидкости водоема с учетом наличии на поверхности ледяной пластины
Аннотация
Данная статья рассматривает задачу построения двумерной гидродинамической модели области водоема с учетом наличия ледового покрытия, плавающего на поверхности. Численная модель является двумерной (в вертикальной плоскости), решение основывается на уравнениях Навье-Стокса в приближениях. Для построения численного алгоритма применяется метод расщепления по физическим процессам.
Ключевые слова: Ледяная пластина, ячейка, волновая гидродинамика, уравнений движения жидкости, уравнений неразрывности, заполненность.05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
Введение. В данной работе рассматривается численная модель движения в двумерных (в вертикальной плоскости) водоемах. Математическая модель основана на уравнениях Навье-Стоксавприближениях. Для построения численного алгоритма применяются метод расщепления по физическим процессам.
1. Постановка задачи. Рассматривается задача волновой динамики жидкости. Исходными уравнениями являются:
– уравнение Навье-Стокса:
; (1)
. (2)
– уравнение неразрывности:
(3)
Уравнения (1) – (3) рассматриваются при следующих граничных условиях, где для разных границ данной области жидкости отдельные условия
– на дне водоема:
(4)
– на свободной поверхности жидкости:
, ; (5)
– на поверхности жидкости, покрытой ледяной пластиной:
, ,
– на входе задается поток от источника:
– на выходе:
, ; ,
– начальные условия: при моменте выполняются следующие условия:
, ,,
где – вектор скорости движения водной среды,– давление, – коэффициент турбулентного обмена по горизонтальному направлению,– коэффициент турбулентного обмена по вертикальному направлению, – ускорение свободного падения, – плотность жидкости, – составляющая тангенциального напряжения (закон Ван-Дорна), – плотность суспензии(взвеси). Система координат выбрана таким образом, что осьсовмещена с дном водоема и направлена в сторону ледовой пластины, ось – вертикально вверх.
Имеются разные временные слои два реальных при,и один промежуточный слой при соответственно можно обозначить, , .
Расщепляя уравнения (1), (2), по физическим процессам, получим:
, (6)
, (7)
, (8)
После дифференцирование по и уравнения (18), (18), (20) примут вид:
, , (9)
Суммируя уравнения (9), учитывая уравнение неразрывности (3)получим уравнение:
(10)
Расчет задач гидродинамики по данному методу осуществляется в три этапа. На первом этапе считается поле скоростей. На втором этапе рассчитывается давление. На третьем этапе уточняется поле скоростей по давлению.
Для аппроксимации задачи применяется интегро-интерполяционный метод, по области : : , :
Уравнение (11) и (12) представляет собой конечно-разностную схему для уравнения (6) и (7).
(11)
аналогично:
(12)
.
Для аппроксимации операторов диффузии и конвекции по временной переменной будем использовать схемы с весами .
Также проинтегрируем уравнение (10) по области :: : ,
. (13)
Тогда уравнение запишется в виде:
. (14)
Проинтегрируем уравнение (9) по области : : : , :
, ,. (15)
. (16)
Аналогично можно записать конечно-разностную схему для уравнения:
, (17).
Дискретная конечно-объемная модель волновой гидродинамики. Расчетные ячейки представляют собой прямоугольники, они могут быть заполненными, частично заполненными или пустыми. Центры ячеек и узлы разнесены на , и по координатам и соответственно. Обозначим через заполненность ячейки . Поле скоростей и давление рассчитываются в вершинах ячейки. Вершинами ячейки являются узлы , , , .
Степень заполненности ячейки определяется давлением столба жидкости внутри данной ячейки. Если среднее давление в узлах, которые относятся к вершинам рассматриваемой ячейки, больше давления столба жидкости внутри ячейки, то ячейка считается заполненной полностью . В общем случае заполненность ячейки можно вычислить по следующей формуле:
(18)
где – функция Хевисайда.
В окрестности узла лежат ячейки , , , .
Введутся коэффициенты , ,, , , описывающие заполненность областей, находящихся в окрестности ячейки. Значение , характеризует заполненность всей области.
Заполненные части областей будем называть , где . В соответствии с этим коэффициенты можно вычислить по формулам:
,
а уравнение (11) примет вид:
Также уравнение (12):
. (19)
Далее представляется следующие сеточные уравнения:
– для составляющей вектора скорости:
(20)
– для составляющей вектора скорости :
;
(21)
– сеточными уравнениями для расчета поля давления:
;
(22)
– уравнениями для уточнения поля скоростей по давлению:
, (23)
, (24)
где параметр , :. «маски» граничных условий.
Таким образом, построена конечно-объемная модель задачи волновой гидродинамики, представленная уравнениями (20) – (25).
Рис.1. Поле вектора скоростей жидкости
Результаты численных экспериментов расчета движения водной среды, частично покрытой ледяной пластиной представлены на рис. 1, где изображена динамика набегающего к пластине потока воды.
Полученная модель, проектируемая для расчетной области с заданными численными значениями, являющимися размером сетки с шагами по оси x и y соответствующимиhx, hy.
Заключение. Разработана двумерная математическая модель для расчета полей скоростей; приведено описание программной реализации математической модели для расчета полей скоростей водной среды; выполнен численный эксперимент, построена картина потока воды водоема при наличии ледового покрытиявпериодов времени, которые согласуются с реальным физическим процессом.
Литература
1. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. М.: Физматлит, 2001. 320 с.
2. Стокер, Дж. Дж. Волны на воде. Пер. с англ. – М. : Иностр. литер., 1959. 618 с.