Многокритериальный интеллектуальный выбор гостиничного номера методом анализа иерархий в условиях неопределённости

Аннотация

В.Б. Демурин

В статье рассмотрены модели и вычислительные процедуры оптимизации управления гостиничным комплексом с количественными и качественными локальными критериями на основе метода анализа иерархий. Предложенные эвристические вычислительные процедуры многокритериальной оптимизации пригодны для решения широкого класса прикладных задач принятия оптимальных управленческих решений.
Ключевые слова: критерий, принятие решений, метод анализа иерархий, матрица парных сравнений, согласованность экспертных мнений.

05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)

Сложность чёткой постановки и описания задачи выбора гостиничного номера, полностью удовлетворяющего  многогранным требованиям постояльца гостиничного комплекса, требует поиска математического аппарата для формализации и моделирования этого процесса. Обращение к многокритериальным методам оптимизации количественных и качественных целевых функций является достаточно  целесообразным и эффективным в данном случае. Когда главная цель –  достижение максимальной удовлетворённости клиента пребыванием в гостиничном комплексе может быть разбита на несколько уровней подцелей – максимальная комфортность номера, минимальные затраты, полная удовлетворённость качеством обслуживания и т. д., наиболее результативным оказывается метод анализа иерархий, исследованию и усовершенствованию которого посвящена данная статья.
Метод анализа иерархий (МАИ) предназначен для принятия многокритериальных решений в условиях неопределённости исходной информации, заданной набором количественных и качественных зависимостей. Причинами неопределённости являются неполнота знаний эксперта о свойствах объектов; недостаточная уверенность лица, принимающего решение, в правильности своих оценок; противоречивость знаний; нечёткость представления информации. Наличие неопределённости приводит к возникновению ошибок в экспертных оценках, несогласованности данных и нарушению основных свойств суждений, таких как связность и транзитивность. Отсутствие же этих свойств в системе предпочтений не позволяет осуществить однозначный выбор на множествах критериев и альтернатив принимаемых решений. В практических задачах для повышения качества и обоснованности решений следует сначала восстановить указанные свойства, а затем согласовывать мнения экспертов.
Метод анализа иерархий нашёл широкое применение в самых различных сферах человеческой деятельности, таких как разработка программы вывода экономики страны из кризисной ситуации [1], реинжиниринг крупномасштабных корпоративных систем в условиях ухудшения экономической обстановки, оптимизация телекоммуникационных систем по совокупности технико-экономических показателей качества [2], создание инструментария подготовки и переподготовки кадров, моделирование процесса контроля знаний в системе дистанционного обучения [4].
В основу МАИ заложен принцип декомпозиции сложной проблемы на совокупность более простых составляющих, названных автором метода Саати Т. [3] иерархическими уровнями или иерархиями. Составляющие проблемы в зависимости от системного назначения делятся на объекты-критерии и объекты-альтернативы принимаемых решений. Из объектов-критериев организуется иерархическая структура, содержащая уровни целей, подцелей, целевых функций, а из объектов-альтернатив создается иерархическая структура, отражающая соподчиненность иерархий принимаемых решений. Нумерация иерархических уровней производится отдельно для структуры объектов-критериев и структуры объектов-альтернатив. В результате декомпозиции образуется архитектура проблемы, отражающая относительную степень взаимосвязи объектов иерархии.
Алгоритм метода анализа иерархий, используемый в задачах многокритериальной оптимизации, содержит следующие этапы:
1. Содержательная постановка задачи принятия многокритериальных управленческих решений в условиях неопределённости.
2. Математическая постановка задачи принятия многокритериальных управленческих решений в условиях неопределённости включает в себя формирование иерархической структуры обобщённого критерия эффективности в виде соподчинённых уровней целей, подцелей и целевых функций; математическое описание функциональных зависимостей и параметрических ограничений задачи принятия многокритериальных проектных решений в условиях неопределённости; формирование иерархической структуры взаимосвязи альтернатив принимаемых решений.
3. Ранжирование конечного множества объектов-критериев и объектов-альтернатив принимаемых решений
р = {р₁, …, р_i, …, р_m}
по важности путём задания вектора весовых коэффициентов
a = {a₁, …, a_i, …, a_m},
значения которых удовлетворяют ограничениям
,   ai ≥ 0.
В многоуровневой иерархической системе принятия решений ранжирование по важности каждого k-го уровня множества объектов-критериев и множества объектов-альтернатив
р_k = {р^k₁, …, р^k_i, …, р^k_m}
производится путём задания k векторов весовых коэффициентов
a_k = {a^k₁, …, a^k_i, …,},  ,
где К – количество уровней иерархической структуры объектов-критериев и структуры объектов-альтернатив; m_k – количество объектов на k-м уровне критериев и k-м уровне альтернатив.
Задача ранжирования объектов по важности в пределах каждого k-го уровня иерархии состоит в том, чтобы на основании опроса экспертов и математических методов обработки экспертных данных установить множество соотношений
р^k_i → a^k_i
для всех уровней иерархической структуры критериев и иерархической структуры альтернатив. Эти суждения позволяют перевести качественные характеристики в количественные или числовые зависимости.
4. Формирование матрицы парных сравнений [S^k_p m×m] для каждого k-го уровня множества объектов

Матрицы парных сравнений [S^k_p m×m] являются основным хранилищем информации, необходимой для принятия многокритериальных решений. Каждая матрица [S^k_p m×m] составляется по следующим правилам:
· Мнение каждого эксперта (пользователя или ЛПР) записывается в виде строки матрицы парных сравнений [S^k_p m×m].
· Эксперт должен быть эрудированным в области принимаемых решений и уметь быстро отвечать на поставленные вопросы: во сколько раз весовой коэффициент a_i больше весового коэффициента a_j или во сколько раз весовой коэффициент a_j меньше коэффициента a_i.
· Каждый элемент a^k_ij матрицы парных сравнений [S^k_p m×m] определяется выражением a^k_ij = a^k_i /a^k_j, где a^k_i и a^kj – весовые коэффициенты приоритетности объектов парной связности k–го уровня иерархии объектов-критериев или объектов-альтернатив:
р^ki→ a^k_i, р^k_j→ a^k_j;    a^k_i, a^k_j→ a^k_ij = a^k_i /a^k_j.
Размерности парируемых коэффициентов a^k_i и a^k_j должны быть одинаковыми, а значения этих коэффициентов не допускают деление на нуль. Если a^k_i /a^k_j > 1, то объект р_i считается важнее объекта р_j. Полученные таким образом значения весовых коэффициентов являются оценками в шкале отношений и соответствуют так называемым жёстким оценкам.
5. Поиск решения задачи многокритериальной оптимизации осуществляется путём поэтапного установления приоритетов. На первом этапе выявляются наиболее важные объекты решаемой проблемы, на втором изыскивается наилучший способ проверки наблюдений, испытания и оценки объектов. На последующих этапах осуществляется выработка рационального решения и оценка его качества. Процесс принятия решений проводится над последовательностью иерархий: результаты, полученные на одной из них, используются в качестве входных данных при изучении следующей иерархии.
Проверка согласованности экспертных мнений является исходной предпосылкой МАИ. Для определения меры согласованности экспертных мнений используется исходная матрица парных сравнений, полученная путем опроса экспертов методом парных сравнений в шкале Саати [2]. В качестве меры согласованности чаще всего используется индекс согласованности и отношение согласованности [4]. Согласованность обратно симметричной исходной матрицы парных сравнений эквивалентна требованию равенства её максимального собственного значения λ_max числу сравниваемых объектов n, то есть λ_max = n.
Поэтому, в качестве меры рассогласования (несогласованности) принято рассматривать нормированное отклонение  от n, называемое индексом согласованности:

Чтобы оценить степень согласованности экспертных мнений, индекс согласованности (ИС) сравнивают со случайным индексом (СИ). Случайным индексом называют индекс согласованности, рассчитанный для квадратной n-мерной положительной обратно симметричной матрицы, элементы которой сгенерированы датчиком случайных чисел для интервала значений от 1 до 9. Для матрицы с фиксированным значением индекс рассчитывается как среднее значение для выборки N = 100. В табл. 1 представлены среднеквадратичные значения согласованности для случайных матриц порядка от 1 до 10.

Таблица 1

Величина случайной согласованности

Получив индекс согласованности, и, выбрав из табл. 1 случайный индекс для заданного порядка матрицы, рассчитывают отношение согласованности (ОС)
ОС = ИС / СИ.
Если величина ОС≤ 0,1, то степень согласованности экспертных данных считается приемлемой. В противном случае (если ОС > 0,1) эксперту рекомендуется пересмотреть свои суждения. Для этого необходимо выявить те позиции в матрице суждений, которые вносят максимальный вклад в величину отношения согласованности, и попытаться изменить меру несогласованности в меньшую сторону на основе более глубокого анализа вопроса.
Модель проблемы принятия решений можно представить совокупностью целевых функций fi,  и набором альтернатив принимаемых решенийx = {хj} ⊂ Х,  в виде:
,,
где m – количество целевых функций,x = {x₁, x₂,…, x_n}⊂ X– конечное множество альтернатив принимаемых решений, содержащее nэлементов x_j. Значения чисел m и n должны быть относительно невелики, поскольку именно они в МАИ определяют трудоёмкость диалоговых процедур реального масштаба времени по извлечению дополнительной информации о задаче[5].
После реализации описанной выше логико-семантической процедуры определения частных критериев можно воспользоваться методом линейной свертки
, 
для получения исследуемых на оптимальность альтернатив принимаемых решений х₁ = А₁, х₂ = А₂, х₃ = А₃.
Если нет оснований считать выпуклым множество достижимости рассматриваемой многокритериальной задачи, то вместо линейной свертки в качестве обобщенного критерия целесообразно использовать свертку Джоффриона, основанную на комбинации линейной и максиминной сверток.
Структуризация проблемы принятия решенийпредполагает декомпозицию исходной многокритериальной проблемы на более простые локальные составляющие и обработку их с учетом экспертных мнений лиц, принимающих решение. По результатам мнений экспертов определяется относительная значимость локальных критериев и альтернатив принимаемых управленческих решений относительно локальных критериев, находящихся на различных уровнях иерархии. Относительная значимость выражается численно в виде векторов приоритетов, которые представляют собой так называемые жёсткие оценки в шкале отношений. 
Построение иерархической структуры решаемой проблемы начинается с глобальной цели (фокуса иерархии). Ниже располагается иерархическая структура локальных критериев, содержащая уровни целей, подцелей и целевых функций. Под уровнями иерархической структуры локальных критериев располагается иерархическая структура альтернатив принимаемых решений. Существуют три основных способа графического отображения иерархии: декомпозиция заданного множества объектов; агрегирование более общих объектов из заданных частных; упорядочение предварительно заданного множества объектов на основе их парного сравнения.
Для установления относительной важности элементов иерархии используется шкала предпочтений по Саати, которая позволяет эксперту поставить в соответствие степеням предпочтения одного сравниваемого объекта перед другим некоторые числа. Эти числа a_ij должны показывать, во сколько раз объект p_i предпочтительнее объекта p_j. Минимальное количество чисел a_ij в шкале отношений может быть два, а максимальное  - ограничивается сложностью вычислительных процедур.

Практика применения метода анализа иерархий дает хорошие результаты при использовании девятибалльной шкалы предпочтений по  Саати [4]:
{1/9, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 1/2, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Целые числа этой шкалы имеют такую смысловую интерпретацию:
1 – равная значимость, когда оба сравниваемых объекта имеют одинаковую значимость для объекта следующего, более высокого уровня;
3 – слабая (чуть более высокая) значимость, когда опыт и оценка говорят о немного большей значимости одного объекта по сравнению с другим, однако эти соображения недостаточно убедительны;
5 – сильная (более высокая) значимость, когда опыт и оценка говорят о более высокой значимости одного объекта по сравнению с другим, причем имеются надежные данные или логические суждения для того, чтобы показать предпочтительность одного из объектов;
7 – очень сильная (очень высокая) значимость, когда существует убедительное свидетельство в пользу одного объекта перед другим, причем эта значимость явно проявлялась в прошлом;
9 – абсолютная доминирующая значимость, когда существуют максимально возможные различия между двумя объектами в пользу предпочтения одного объекта другому и они в высшей степени убедительны;
2, 4, 6, 8 – промежуточные (равноправные с нечётными) значения.
Такая шкала предпочтения является симметрично-обратной относительно единичного значения. Это следует понимать в том смысле, что если объекту p_i при сравнении с объектом p_j приписывается одно из определенных выше ненулевых чисел a_ij > 1, то объекту p_j при сравнении с объектом p_i, придаётся обратное значение a_ji = 1/a_ij при a_ij < 1. При сравнении двух объектов по этой шкале эксперт должен поставить в соответствие число в интервале от 1 до 9 или обратное ему значение.
Решение задачи многокритериального выбора гостиничного номера с использованием метода анализа иерархий:

1. Постановка задачи принятия многокритериального управленческого решения. Задача интеллектуального выбора оптимального гостиничного номера из множества возможных вариантов, может быть сформулирована следующим образом. Требуется выбрать наиболее предпочтительный вариант гостиничного номера по глобальному критерию эффективности F(x)={f₁(x),f₂(x),f₃(x),f₄(x),f₅(x)}, который обеспечивает максимальную удовлетворённость посетителя от пребывания в нём, путём максимизации частных критериев f₁(x), f₂(x), f₃(x), f₄(x), f₅(x), являющихся, ничем иным, как заявленными требованиями (потребностями) посетителя отеля при бронировании или в момент прибытия.
Локальные критерии задачи могут быть описаны следующим набором целевых функций: f₁(x) – удалённость от автостоянки, f₂(x) – приближённость к местам общепита, f(x)₃ – приближённость к развлекательному комплексу, f₄(x) – комфортность температурного режима в номере, f₅(x) – насыщенность номера телекоммуникационными услугами и средствами связи. Количество гостиничных номеров в комплексе ограничено.
Необходимость сравнительного анализа достаточно обширного множества возможных альтернатив гостиничных номеров приводит к выводу о необходимости осуществления двойного, а то и тройного прогона задачи многокритериального выбора на заданном наборе критериев-потребностей посетителя. На первом прогоне в качестве альтернатив рассматриваются целые категории номеров (VIP-номера, номера класса люкс; стандартные номера, эконом класс, номера «без услуг»), на втором – блоки из соизмеримых номеров выбранной категории, а уже на третьем прогоне может идти речь о конкретном номере. В нашем случае опишем лишь один прогон – заключительный, так как все они аналогичны по своему алгоритмическому содержимому.
В качестве альтернатив принимаемых решений А = {А₁, А₂, А₃, А_4, А₅} приняты: А₁ – № 402; А₂ – № 118; А₃ – № 21, А₄ – №56, А₅ – № 89 (табл. 2).

Таблица 2.
Сравнительный анализ альтернативных вариантов номеров по критериям

2. Формирование иерархической структуры решаемой проблемы. В состав создаваемой иерархический структуры решаемой проблемы целесообразно включить такие уровни: 1) верхний начальный уровень, на котором располагается фокус иерархии с глобальным критерием F(x) решаемой проблемы выбора конкретного гостиничного номера; 2) первый иерархический уровень критериев с пятью локальными критериями эффективности f₁(x), f₂(x), f₃(x), f₄(x), f₅(x); 3) второй иерархический уровень альтернатив с пятью принимаемыми управленческими решениями – номеров гостиничного комплекса  А₁, А₂, А₃ А₄, А₅ (рис. 1).

Для вычисления элемента ν_f ij нормированной матрицы парных сравнений частных критериев [N_fm×m] необходимо соответствующий элемент af_ij исходной матрицы парных сравнений частных критериев [S_f m×m] разделить на сумму элементов j-го столбца. То есть элементы первого столбца матрицы [S_fm×m] необходимо разделить на сумму элементов первого столбца, элементы второго столбца – на сумму элементов второго столбца и так далее:
νf _ij = af _ij /.
Например, элемент ν_{f 11} первой строки первого столбца нормированной матрицы парных сравнений частных критериев [Nf 5×5] равен
ν_{f 11} = a_{f 11} / (a_{f 11} + a_{f 21} + a_{f 31}+ a_{f 41}+ a_{f 51}) =
= 1 / (1 + 3 + 1/4 + 1 + 1/2) = 0.210.
Относительные значения весовых коэффициентовν _f1 - v_f5 частных критериев f₁(x) – f₅(x) вычисляются как средние значения элементов соответствующих строк нормированной матрицы парных сравнений [N_f 5×5] по формуле:
ν_fi = .
Например, весовой коэффициент ν _f1 частного критерия f₁(x) равен
ν_f1 = (ν_f11 +ν _f12 +ν _f13+ν _f14+ν_f15)/m =
= (0.210 + 0.111 + 0.260 + 0.294 + 0.177)/5 = 0.210.
Результаты вычисления относительных значений весовых коэффициентовν_fi и усредненных значений весовых коэффициентовν_fi частных критериев занесены в нормированную матрицу парных сравнений [Nf 5×5] и в столбец ν _fi, присоединённый справа к этой матрице, приведённой на рис. 3.

4. Определение коэффициентов превосходства альтернатив производится по той же схеме, что и определение коэффициентов превосходства частных критериев. Для каждого частного критерия (f₁(x) – удалённость от автостоянки, f₂(x) – приближённость к местам общепита, f₃(x) – приближённость к развлекательному комплексу, f₄(x) – комфортность температурного режима в номере, f₅(x) – насыщенность номера телекоммуникационными услугами и средствами связи) строится матрица парных сравнений [Sfin×n]. Для построения такой матрицы  попарно сравнивается альтернатива строки с альтернативой столбца по отношению к одному исследуемому частному критерию. Матрица    [Sfin×n] имеет размерность 5×5 (по числу альтернатив). Строки и столбцы матрицы называются именами соответствующих альтернатив.

Нормализация матрицы парных сравнений альтернатив по критерию «приближённости к местам общепита» [Sf₂ 5×5] выполняется по приведенной выше процедуре. Результаты вычисления относительных элементов занесены в нормированную матрицу парных сравнений [Nf₂ 5×5]. Вычисленные значения весовых коэффициентов частных критериев занесены в столбец ν f_2Aj, который присоединён справа к матрице [Nf₂ 5×5], приведённой на рис. 5.

Значения весовых коэффициентов критерия «приближённости к местам общепита» (столбец νf_2Aj, рис. 5) свидетельствуют, что наиболее предпочтительными альтернативами по критерию «приближённости к местам общепита» являются номера № 402 (вариант А₁, весовой коэффициентν f₂A₁ = 0.439) и № 118 (вариант А₂, весовой коэффициент νf_{2 A2} = 0.206). Значение коэффициента относительной согласованности исходной матрицы [Sf₂ 5×5] равно 8,15 %, что меньше граничного допустимого значения 10%, за пределами которого требуется пересматривать суждения экспертов или менять их состав.

Для оценки фактора f₄ (комфортность температурного режима в номере) построены матрицы исходных парных сравнений [Sf_{4 5×5}] (рис. 6) и нормированных парных сравнений [Nf_4 5×5] (рис. 7)

Значения весовых коэффициентов критерия «комфортности температурного режима в номере» (столбец νf_{4 Aj}, рис. 7) свидетельствуют, что наиболее предпочтительными альтернативами по критерию f₄ - комфортности температурного режима в номере являются номера № 402 (вариант А₁, весовой коэффициент νf_4A1 = 0.448), № 118 (вариант А₂, коэффициент ν f_4A2 = 0.211) и № 89 (вариант А₅, коэффициент ν f_4A5 = 0.211). Значение относительной согласованности матрицы  [Sf₄ 5×5] равно 3,59 %,  что меньше граничной величины 10%, не позволяющей считать, что мнения экспертов согласованы. Аналогичным образом проведена сравнительная оценка альтернатив по всем частным критериям.

5. Формирование набора предпочтительных весовых коэффициентов превосходства альтернатив принимаемых решений осуществляется на основании информации о значениях весовых коэффициентов частных критериев nf i и весовых коэффициентов альтернатив принимаемых решений (по характеристикам номеров) относительно каждого из частных критериев (удалённость от автостоянки, приближённость к развлекательному комплексу, насыщенность номера телекоммуникационными услугами и средствами связи и т.д.)ν f_i(A_j), которые приведены в табл. 3.

Таблица 3
Результирующие значения глобального приоритета

Значение предпочтительного весового коэффициента каждой отдельно взятой альтернативы принимаемого решения -ν *A _j определяется как сумма произведений значений компонентов вектора приоритета частных критериев νf i на значения компонентов вектора локального приоритета ν f_i(A_j) рассматриваемой альтернативыA_j в отношении данного критерия f_i, а именно
ν*A j = .
Например, вычисление предпочтительного весового коэффициента превосходства альтернатив ν *A₁ для альтернативы А₁ (номер № 402) выполняется следующим образом:
ν*_A1 =ν f ₁×νf ₁ А₁ +νf ₂×νf ₂ А1 +ν f ₃×νf ₃ А1 +ν f ₄×νf₄ А1 + νf₅×νf ₅ А1 =
= 0,210× 0,414  + 0,321× 0,439 + 0,061× 0,303 + 0,311× 0,448 +
+ 0,106×0,059 = 0,3919.
Вычисление остальных предпочтительных результирующих весовых коэффициентов превосходства альтернатив ν*A _j  для альтернативы Аj производится аналогичным способом. Результаты вычислений занесены в правую колонку табл. 3.
6. Выбор гостиничного номера согласно проведенным исследованиям и расчетам. Результаты выполненных расчётов показывают, что предпочтительной альтернативой, рекомендуемой к выбору, считается номер № 402 с максимальным значением глобального приоритета, несмотря на его самую высокую стоимость (отталкиваясь от прейскуранта). Если у посетителя гостиничного комплекса обнаруживается нехватка финансовых средств для бронирования и поселения в этом номере, то выбор более дешёвого по цене варианта осуществляется путем пересчёта всех таблиц с учётом привлечения дополнительной информации о новых требованиях к разрабатываемому предложению и согласованности экспертных мнений.
Таким образом, в работе проведено глубокое исследование метода анализа иерархий с целью использования его возможностей в решении задачи многокритериального оптимизационного выбора варианта гостиничного номера, максимально удовлетворяющего всем требованиям, заявленным клиентом в момент бронирования или поселения в отель. Предложена усовершенствованная процедура многокритериальной оптимизации выбора гостиничного номера, содержащая этапы декомпозиции глобального критерия эффективности на локальные критерии, формирования задач принятия альтернативных решений по локальным критериям, решения локальных оптимизационных задач и выбора предпочтительных альтернатив из множества допустимых. Достоинством разработанной процедуры является применимость её в условиях слабой структурированности сложных систем и неопределённости исходной информации (неполнота знаний эксперта о свойствах объектов; недостаточная уверенность лица, принимающего решение, в правильности своих оценок; противоречивость знаний; нечёткость представления информации), заданной набором количественных и качественных показателей.

Список литературы

1.Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. – М.: Радио и связь. 1989. – 316 с.
2.Саати Т., Кернс К. Аналитическое планирование. Организация систем. – М.: Радио и связь. 1991. – 224 с.
3.Таха Х. Введение в исследование операций. – М.: Вильямс, 2001. – 912 с.
4.Андрейчиков А.В., Андрейчикова О.Н. Анализ, синтез, планирование  решений  в экономике. – М.:  Финансы и статистика, 2001. – 366 с.
5.Черноруцкий И.Г. Методы оптимизации и принятия решений. – СПб.: Лань, 2001. – 384 с.