О фрактальной структуре нефтегазовых месторождений

А. М. Гачаев

О фрактальной структуре нефтегазовых месторождений

Аннотация

А. М. Гачаев

Проведен конструктивный анализ решения краевой задачи для дифференциального уравнения дробного порядка, моделирующий особенности притока нефти к скважине в трещинном деформируемом пласте, а так же рассмотрены задачи описывающие процесс диффузии в пористых средах, где сильно вязкая жидкость (нефть) вытесняется слабо вязкой жидкостью водой.
Ключевые слова: Дифференциальный и интегральный операторы дробного порядка, краевая задача, вязкоупругие материалы (полимеры), фракталы.

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

В последнее время при изучении неупорядоченных систем весьма эффективно используются фрактально – геометрические методы [1] , [2] ,основным для аппарата фрактальной математики является понятие дробной размерности, впервые введенное Хаусдорфом. На языке фрактальной математики в 1980 г. были сформулированы основные положения теории протекания. В частности, установлена фрактальная природа так называемых вязких пальцев в пористых средах, где сильно вязкая жидкость ( нефть ) вытесняется слабо вязкой жидкостью водой [ 1 ].
В работе [ 1] дается анализ фрактально – геометрических показателей в моделировании нефтегазносности и проводимости паровых коллекторов. Отмечено, что поведение нефтегазностнных коллекторов, представленных пористыми средами, в существенной мере определяется стохастическими факторами, включая   хаотическое распределение зерен породы коллекторов по форме и размерам.
Электрическая проводимость пористых нефтегазосодержащих пластов, исследуемая при их электромагнитном каротаже, также имеет фрактальную структуру, характерную для перкуляционного кластера.
Фрактальные кластеры образуемые песчаными, имеют значении хаусдорфовой размерности , располагающиеся в интервале
D=2,57+2,87.
В данной работе приток жидкости к скважине в трещиноватом деформируемом пласте, производится с помощью интегродифференциальных уравнений дробного порядка.        В практике разработки нефтяных залежей существуют различные зависимости дебита от перепада давления. Отклонение рассматриваемых зависимостей от линейной объясняется причинами, основными из которых являются деформация коллектора и инерционные силы сопротивления, изменение свойства пласта и жидкости.
В области больших скоростей фильтрации ( при забойной зоне пласта) нарушается линейный закон.
Существуют функциональная зависимость, учитывающая инерционные составляющего сопротивления движению жидкости [1].
(1)
где   - градиент давления, - динамическая вязкость жидкости, - скорость фильтрации,модуль скорость фильтрации,- проницаемость среды, - скалярная величина, зависящая от модуля вектора скорости, - безразмерная функция, полученная согласно – теореме анализа размерности.
Теорема послужила основным толчком в применении фрактального анализа в данной области, поэтому подробно приведем здесь эту исключительно важную теорему и автору кажется, что это теорема будет в дальнейшем играть центральную роль при моделировании различных процессов.
Теорема ( – теорема анализа размерности) [ 9].
Если дано физически значимое выражение:

где — это n различных физических переменных и они выражаются через k независимых физических величин, то это выражение может быть переписано в виде:
где — эти безразмерные параметры, полученные из при помощи выражений следующего вида:

где показатели степеней — эти рациональные числа.
Допуская возможность разложения функции в ряд Тейлора и ограничиваясь первыми двумя членами разложения, получим

(2)
Движение жидкости в чисто трещиноватом коллекторе гораздо точнее ( чем закон Дарси ) описывается двучленной зависимостью (2).
По формуле (2) первое слагаемое учитывает потери давления от трения между жидкостью и трещиноватой средой, второе – инерционную составляющую сопротивления жидкости, связанную с сужением и расширением элементарных стружек потока в трещинах, поворотами струей и т.д.
Из формулы (2) следует число при малых скоростях фильтрации квадратом модуля можно пренебречь и градиент давления будет зависеть только от первого слагаемого ( вязости жидкости, проницаемости трещини скорости фильтрации) т.е. движение будет безинерциональнным.
При больших скоростях фильтрации силы инерции будет преобладать над силами вязкости, поскольку в формуле (2) определяющим будет второе слагаемое. Может оказаться, что при достаточно больших скоростях фильтрации силы вязкости будут пренебрежимо малы по сравнению с силами инерции и следовательно, двучленная зависимость (2) будет зависеть в виде одночленного закона Краснопольского –Шеди, впервые установленное Краснопольским А.А. в 1912г.[ 4]
Формула (2) впервые был предложен Форхгеймером [4]. В этой работе показано, что (2) совпадает с первыми двумя членами разложения в ряд Тейлора функции.
С ростом градиента давления изменяется фильтрационная способность коллектора.
Это может быть связанно с изменением действующей толщины пласта, которая для каждого конкретного коллектора при различных градиентах давления ( до критического значения) различна. С ростом градиента давления до критического значения в процессе фильтрации вовлекаются все более мелкие поры.

При этом одновременно увеличивается проницаемость трещин, пористых блоков и общая мощность трещиновато – пористого пласта. Примерный график изменения действующей мощности в зависимости от градиента давления изображен на рис.1

Рис.1 Изменение действующей мощности трещиноватого пласта

При достижении действующая толщина пласта достигает максимального значения и остается неизменной при дальнейшем увеличении градиента давления ( рис. 2)

Рис.2 Зависимость действующей толщины трещиноватого пласта от градиента давлении.

Последующие изменения могут привести к сужению некоторых фильтрационных каналов и к уменьшению действующей толщины пласта.
При расширении движения жидкости в деформируемом пласте будет считать, что толщина пласта изменяется плавно, колеблясь около среднего значения [4]. За срединную поверхность приведенного пластового давления примем горизонтальную плоскость, находящуюся на одинаковом расстоянии от кровли и подошвы. Выбирая в этой плоскости направление координатных осей O_x,O_y,O_z проинтегрировав уравнение неразрывности

по мощности пласта

получим(3)

Дифференцируя интеграл по параметру, преобразуем первое слагаемое уравнения (3)

При оси ассиметрической фильтрации течение жидкости на кровле и подошве практически отсутствует, следовательно последними двумя членами в полученном равенстве можно пренебречь, т.е. (4)

Применяя теорему о среднем к интервалу с учетом получим: (5)

Аналогично преобразуем второй интеграл в уравнении (3) т.е.(6)

Третий интеграл в (3) равен нулю. Докажем это следующим образом.
Оценивая третий интеграл, имеем

.
Так как то и
С учетом приведенных преобразований из уравнения (3) получим усредненное уравнение неразрывности:(7)
Уравнение (7) описывает установившиеся течение жидкости в пласте с изменяющейся толщиной.
При выводе уравнения (7) операции индекс «ср.» правильность такой операции допустима. Далее, выразив из (2), имеем

Из полученного выражения следует:

(8)

Подставим в уравнение (7) значение скорости фильтрации (8) при ниже критического, т.е. при изменяющейся толщине пласта. В случае ассимитрической фильтрации в полярных координатах уравнение неразрывности запишем в виде [4].

.
Оттуда имеем

Постоянную интегрирования при условии и учитывая, что W дебит скважины радиусом взрывший пласт толщиной находим

(9)

Рис. 3 Зависимость действующей толщины пласта от градиента давления.

В промысловой практике принято считать

(10)
где - толщина пласта при , - эмпирический коэффициент, характеризующий изменение действующей толщины пласта от градиента давления (рис.1). В [ 8] было предложено (10) заменить, учитывая, что фильтрация идет в одном направлении.