Оптимизация процессов управления гидроприводом с использованием методологии объединенного принципа максимума

Аннотация

А.А. Костоглотов, И.А. Курочкина

Дата поступления статьи: 28.02.2014

Предлагается метод построения алгоритма плавного управления гидроприводом, основанном на методе объединенного принципа максимума. Такое управление повышает точность и безотказность работы устройства 

Ключевые слова: объединенный принцип максимума, управление, гидропривод, синтезирующая функция,синтез управления, асинхронное варьирование

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Широкое распространение машин с объемным гидроприводом на железнодорожном транспорте усилило актуальность проблем управления их движением [1].
В настоящее время для разработки алгоритмов управления требуемым движением применяются принцип максимума Л.С. Понтрягина [2], метод планирования траектории движения исполнительного механизма [3] и др. Однако с помощью принципа максимума эффективно решаются линейные задачи программного управления, а синтез управления связан со значительными сложностями. Метод планирования траектории движения для реализации требует обработки большого объема информации и дополнительного специального алгоритма выбора оптимального управления. К тому же этими методами строятся управления, имеющие ступенчатый характер переключения, что снижает точность управления, приводит к ускоренной наработке на отказ.
Свободным от таких недостатков является метод синтеза оптимального управления нелинейными динамическими объектами [4 - 7], базирующийся на принципе экстремума интеграла действия для функции Гамильтона неконсервативной динамической системы [8].

1. Объединенный принцип максимума

Рассматривается управляемая неконсервативная система, на которую действуют управляющие силы  обобщенные координаты и скорости;  область допустимых управлений. Качество управляемого процесса оценивается функционалом
    (1.1)                                                                  
Для установления признака истинного движения используется интеграл действия [6,8]
,(1.2)                                                             
где  работа внешних сил;  множитель Лагранжа.
В рассматриваемом случае для установления признака истинного движения применено асинхронное варьирование [6].
Пусть  произвольное допустимое управление. Первая асинхронная вариация равна
,   (1.3)                                                                       
откуда  и это равенство является условием трансверсальности в правом конце траектории [5].
Теперь пусть  новое управление, полученное из первого игольчатым варьированием , если [2].
Тогда
  (1.4)                                                                                          
Вторая игольчатая вариация интеграла действия будет иметь вид [5,6]
  (1.5)                          
Этим неравенством и условием  устанавливается принцип максимума обобщенной мощности (объединенный принцип максимума): между двумя состояниями система движется так, что в каждой точке траектории выполняется условие максимума обобщенной мощности
, (1.6)                                                 
и выполняются условия трансферсальности для функции H.
Из (1.6) получается универсальная форма закона управления
, ,  (1.7)                                                              
где  фиктивная сила;  знакоотрицательная синтезирующая функция [5],  обобщенный импульс.
В фазовом пространстве  истинную траекторию пересекают гиперповерхности (эллипсоиды), на которых . Тогда из (1.5) следует, что на поверхность эллипсоида
    (1.8)                                                      
и для нахождения синтезирующей функции нужно использовать скобки Пуассона [6]
,      (1.9)                                                 
Откуда значение синтезирующей функции будет таким
,   (1.10)                                                             
где .
Закон управления в универсальной форме будет иметь вид [5,6,9,10]
, .  (1.11)                       
В соответствии с (1.11) управления могут выбираться из классов кусочно-непрерывных и непрерывных функций, закон управления для класса кусочно-постоянных функций удовлетворяет также и принципу максимума Л.С. Понтрягина [2,11]
; ,  (1.12)                                  
где  допустимое значение управления.

1. 2.Математическая модель гидропривода

Рассмотрим упрощенную расчетную схему гидропривода поступательного движения с замкнутой циркуляцией потока и дроссельным управлением с параллельным подключением дросселя (на входе или на выходе гидроцилиндра) (рис.1).

1 – насос; 2 – гидроцилиндр; 3 – регулируемый дроссель; 4 – дроссель;
5 – распределитель; 6 – сливная емкость; 7 – перемещаемый объект.
Рис. 1. – Расчетная схема гидропривода поступательного движения

Уравнение неустановившегося движения поршня гидроцилиндра без учета сжимаемости жидкости и утечек в полостях имеет вид [1, 3, 6]:
,  (2.1)                                             
где  перемещение и скорость перемещения поршня; рабочие площади гидроцилиндра нагнетательной и сливной полостей, живое сечение трубопровода; давление жидкостей в напорной и сливной полостях; сила сухого трения груза и трение в гидроцилиндре (принято );  сила противодействия, m – приведенная к штоку масса частей исполнительного механизма;  суммарные путевые гидравлические потери давления в гидроприводе
,    (2.2)                                                                                         
где  подача жидкости в гидропривод,
;    (2.3)                                                                     
 плотность рабочей жидкости;  коэффициент потерь в местных сопротивлениях и на гидравлическое трение [1].
Принята следующая совокупность данных для расчета управляемого гидропривода (рис.1): диаметр поршня м; диаметр штока м; сила сухого трения  Н; сила противодействия  Н; приведенная масса частей исполнительного механизма       кг; площадь поршня  м2; диаметр живого сечения трубы м; длина трубы м; кинематическая вязкость рабочей жидкости – масло индустриальное ИА-5А,  м²/с; плотность жидкости  900 кг/м³; коэффициент гидравлического сопротивления дросселя ; коэффициент гидравлического сопротивления распределителя ; рабочий ход поршня 1 м (=1 м).

1. 3.Математическое моделирование

Задача синтеза оптимального управления: найти закон изменения силы гидравлического давления на поршень  такой, чтобы осуществлялось перемещение поршня из начального положения  в конечное  и при этом целевой функционал
,                                      
характеризующий качество процесса управления, принимал минимальное значение.
Функция действия рассматриваемой системы
,  (3.2)                                          
где   искомая обобщенная сила.
В соответствии с формулой (1.11) закон управления  в классе непрерывных функций получит вид
,   (3.3)                                                        
а сила воздействия на поршень
.  (3.4)                                     
При синтезе оптимального управления, соответствующего принципу максимума Л.С. Понтрягина
,(3.5)
где  допустимое управление.
Результаты исследований представлены в сравнении на рис.2-4, рассчитанных по методу объединенного принципа максимума (ОПМ) и по методу максимума Л.С. Понтрягина. При этом на рис.2а и рис.2б показаны перемещения и скорость перемещения гидроцилиндра; на рис.3а и рис.3б – законы оптимального управления ; на рис.4а и рис.4б – подача рабочей жидкости в гидроцилиндр .

Рис. 2. – Переходной процесс

Рис. 3. – Закон оптимального управления

 Рис. 4. – Подача в гидроцилиндр

Заключение.
Из сравнения результатов исследований установлено:

1. Эффективность управления по квадратичному критерию при использовании метода объединенного принципа максимума выше, чем при использовании принципа максимума и составляют соответственно  и , при одинаковом быстродействии.
2. При применении принципа максимума Л.С. Понтрягина управление имеет ступенчатый характер, что может привести к дополнительной динамической нагрузке на гидроцилиндр. В случае применения объединенного принципа максимума обеспечивается безударное управление процессом.

Литература:

1. Башта, Т.М. Гидроприводы и гидропневмоавтоматика [Текст] – М.: Машиностроение, 1982.–423 с.
2. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гампрелидзе Р.В. , Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов [Текст] – М.: Наука, 1969. – 384 с.
3. Беренгард, Ю.Г. Динамический синтез дроссельных тормозных устройств гидроцилиндров // Пневматика и гидравлика [Текст] – 1984. – Вып.11. – С.216-223.
4. Костоглотов А.А., Костоглотов А.И., Лазаренко С.В. Объединенный принцип максимума в задачах оценки параметров движения маневрирующего летательного аппарата [Текст] // Радиотехника и электроника, т. 54. вып.4, 2009. – С.450-457.
5. Костоглотов А.А., Костоглотов А.И., Лазаренко С.В., Шевцова Л.А. Синтез оптимального управления на основе объединенного принципа максимума [Текст] // Известия вуз Сев.-Кав. региона, №2, 2010. – С.27-31.
6. Лурье, А.И. Аналитическая механика [Текст] – М.: ГИФМЛ, 1961. – 824 с.
7. Fantoni I., Lozano R. Non-linear Control for underactuated mechanical systems // Springer London, 2001. – 293 p.
8. Маркеев, А.П. Теоретическая механика [Текст] – М.: Наука, ГРФМЛ, 1990. – 414 с.
9. Костоглотов А.А., Костоглотов А.И., Лазаренко С.В. Многопараметрическая идентификация конструктивных параметров методом объединенного принципа максимума [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2011, №1. – Режим доступа: http://www.ivdon.ru/magazine/archive/n1y2011/348  (доступ свободный) – Загл. с экрана. – Яз. рус.
10. Андрашитов Д.С., Костоглотов А.А., Костоглотов А.И.,
    Лазаренко С.В., Ценных Б.М. Универсальный метод синтеза оптимальных управлений нелинейными Лангранжевыми динамическими системами [Электронный ресурс] // Инженерный вестник Дона. 2014. №1. – Режим доступа: http://www.ivdon.ru/magazine/archive/n1y2014/2251  (доступ свободный) – Загл. с экрана. – Яз. рус.
11. Fuller, F.T. Study of an optimal non-linear control system // Jornac of Electronics Control. №1(15), 1963. – P.63-71.