×

Вы используете устаревший браузер Internet Explorer. Некоторые функции сайта им не поддерживаются.

Рекомендуем установить один из следующих браузеров: Firefox, Opera или Chrome.

Контактная информация

+7-863-218-40-00 доб.200-80
ivdon@ivdon.ru

Система расчета равновесного состояния упругой среды, ослабленной плоской симметричной трещиной

Аннотация

Волошин А.Г., Ступина М.В.

Известно, что в настоящее время в промышленности находят широкое применение конструкции, содержащие оболочки, одной из главных причин разрушения которых является наличие неоднородностей, например, трещин. Поэтому задача расчёта элементов конструкций, содержащих неоднородности достаточно широко встречаются в теории упругости и строительной механике. Задача о плоской трещине нормального разрыва в упругом пространстве сведена к решению интегро-дифференциального уравнения, не содержащего оператора Лапласа. Это уравнение позволило получить приближённое решение задачи в форме двукратного интеграла по области, занятой трещиной. Для уточнения полученного решения построен рекуррентный процесс. Результаты вычислений свидетельствуют о его сходимости. Ключевые слова: упругое пространство, трещина нормального разрыва, интегро-дифференциальное уравнение, рекуррентный процесс, коэффициент интенсивности напряжений

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Донской государственный технический университет

ВВЕДЕНИЕ

Известно, что в настоящее время в промышленности находят широкое применение конструкции, содержащие оболочки, одной из главных причин разрушения которых является наличие неоднородностей, например, трещин. Поэтому задача расчёта элементов конструкций, содержащих неоднородности достаточно широко встречаются в теории упругости и строительной механике [1 - 3].
Задача о плоской трещине нормального разрыва в упругом пространстве сведена к решению интегро-дифференциального уравнения, не содержащего оператора Лапласа [1]. Это уравнение позволило получить приближённое решение задачи в форме двукратного интеграла по области Ω, занятой трещиной. При этом считается, что область Ω имеет две взаимно-ортогональные оси симметрии, а ограничивающий эту область контур L является достаточно гладким. Для уточнения полученного решения построен рекуррентный процесс, аналогичный предложенному в [2]. Результаты вычислений свидетельствуют о его сходимости. Данное решение является обобщением результатов работы [3], где рассмотрена задача для трещины, форма которой в плане близка к круговой.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим интегро-дифференциальное уравнение задачи о плоской трещине нормального разрыва в упругом пространстве в виде

         (1)

Здесь  - амплитуда раскрытия трещины;  - интенсивность нормальной нагрузки, приложенной к берегам трещины; , E – модуль Юнга, v – коэффициент Пуассона. Функция  удовлетворяет очевидному условию

                     (2)


Непосредственное интегрирование уравнения (1) и учёт симметрии задачи приводит его к виду:


                      (3)

Если кривизна контура L, рассматриваемая как функция дуги S, принадлежит , то решение уравнения (3) имеет вид [1]

                                (4)

где  - уравнение контура L, ограничивающего область трещины Ω, a – постоянная, имеющая размерность длины.
При сделанных предположениях относительно области Ω функция  является четной функцией по обеим переменным. С учетом этого, преобразуем уравнение (3) к виду


(5)     

                                                                                                

(6)

Можно показать, что  является четной функцией по ε и η и нечетной – по x и y.
ε – отношение характерных размеров трещины a и b в плане, соответственно, по осям Ox и Oy:   - интенсивность нормальной нагрузки, приложенной к берегам трещины (рисунок 1);

 

 

            

 

 

(рис. 1)

РЕШЕНИЕ

Для решения задачи в безразмерных величинах использована следующая замена переменных

Итерационный процесс определения последовательных приближений функции  строится по следующей схеме


(7)

 

                     (8)


Из предположения о том, что  удовлетворяет условию Гельдера по обеим переменным, можно сделать вывод, что выделение в (7) разностных множителей (в отличие от [2]) позволяет устранить сингулярную особенность по одной из переменных. Это приводит к повышению эффективности вычислительного процесса по схеме (7). На осях симметрии функция 24 принимает вид

(9)

 

            (10)

Из (9) легко найти


(11)                 

Интегралы в (9) – (11) могут быть вычислены с использованием формулы Адамара. Соотношения (9) и (10) получены соответствующими предельными переходами (6). Предварительно произведена группировка слагаемых в (6), в результате чего

(12)

где

Интеграл (12) представим в виде суммы интегралов

где



Учтём, что

Здесь также учтено, что область, занятая трещиной, является симметричной относительно обеих осей, ее контур задан уравнением

где m,n – натуральные числа.
При m=2, n=1 имеем

36

Для повышения эффективности вычисления интеграла , область интегрирования  разобьем на две, выделив внутри круг максимального радиуса , т.е. , где контур области  - определяется уравнением
В результате для рассматриваемой области получим:

где

Выделим разностный множитель в выражение для

где E(k) – полный эллиптический интеграл 2-го рода,

Итак, суммируя проведённые рассуждения, получим:

                        (13)

Подставляя выражение (13) в (8), получим начальное приближение

50                             (14)

Вычисление функций  в схеме (7) осуществлялось по следующей методике. Рассчитывались значения функций  в узлах равномерной сетки , после чего функция  в интегралах (7) заменялась интерполяционным многочленом Лагранжа

(15)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Задача о плоской трещине нормального разрыва в упругом пространстве решена на основе интегро-дифференциального уравнения (1). Нулевым приближением решения является уравнение (14). Для уточнения полученного решения построен рекуррентный процесс (7).

 

ЛИТЕРАТУРА

[1] Александров В.М., Сметанин Б.И., Соболь Б.В. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах. М.: Физмалит, 1993. 224 с.

[2] Сметанин Б.И., Соболь Б.В. Равновесие упругого слоя, ослабленного плоскими трещинами //ПММ.1984.Т. 48. Вып. 6. с. 1030-1038.

[3] Рашидова Е.В., Сметанин Б.И., Соболь Б.В. Равновесная плоская симметричная трещина в неограниченной упругой среде. В кн.: Одиннадцатая международная конференция «Современные проблемы механики сплошной среды». Ростов-на-Дону, ЮФУ, 2007 г.

20 июня 2008 г.