×

Вы используете устаревший браузер Internet Explorer. Некоторые функции сайта им не поддерживаются.

Рекомендуем установить один из следующих браузеров: Firefox, Opera или Chrome.

Контактная информация

+7-863-218-40-00 доб.200-80
ivdon3@bk.ru

Расчет на устойчивость полимерных стержней с учетом деформаций ползучести и начальных несовершенств

Аннотация

С.В. Литвинов, Е.С. Клименко, И.И. Кулинич, С.Б. Языева

Статья посвящена исследованию потери устойчивости полимерных стержней при наличии возмущающих факторов в виде погиба стержня и наличии эксцентриситета приложения нагрузки.
Ключевые слова: устойчивость стержней, ползучесть, высокоэластические деформации, полимерные материалы, уравнение связи Максвелла-Гуревича.

05.23.17 - Строительная механика

В настоящее время полимерные материалы используются не только как ограждающие и имеющие «вторичное» значение конструкции, но и как несущие элементы. Примером могут быть полимерные стержни для крепления навесных конструкций. Эти стержни претерпевают как растяжение, так и сжатие.
Основное преимущество полимерных стержней в том, что они являются кислото- и щелочестойкими материалами, прочность некоторых полимеров может достигать 2000 МПа. Однако полимерные материалы обладают свойством ползучести. Для описания деформаций ползучести далее используется уравнение связи Максвелла-Гуревича, которое максимально точно описывает связь напряжений и деформаций ползучести не только в полимерных материалах, но и в некоторых металлах.Уравнение Максвелла-Гуревича далее используется в следующем виде:

, (1) где ; .
Здесь  – деформации ползучести,  – модуль высокоэластичности,

 – модуль скорости,  – коэффициент начальной релаксационной вязкости.
Для полимерных материалов деформации ползучести представлены рядом спектров времен релаксаций
,      
При времени деформаций до 1000 часов преобладает первый, старший спектр времен релаксаций, т.е. s=1.
Как видно из выше представленных уравнений определяемые высокоэластические деформации находятся и в левой части уравнения (под оператором дифференцирования), и в правой части (в функции напряжений) . Всвязи с этим при использовании уравнения связи Максвелла-Гуревича возникают трудности в применении таких программных комплексов, как ANSYS. Дальнейшее решение задач происходило в программном комплексе MatLab.
В практике стержни имеют некоторое искривление своей оси, также называемое «погибью», при этом сила обычно оказывается приложенной внецентренно (см. рис.1.). Подобного рода задачи в упругой постановке подробно рассмотрены в [1, 3].



Рис.1. Расчетная схема задачи


Одновременное влияние начальных возмущений и ползучести стержня рассматривалось в работах [1, 4].
При выводе основных уравнений использовались следующие допущения и гипотезы:
1. Имеет место одноосное напряженное состояние ().
2. Гипотеза плоских сечений.
3.Геометрическая линейность ( ).
4. Форма сечения (рассматривается прямоугольное сечение).
Полную деформацию по оси стержня можно записать в виде

. (2)

С учетом гипотезы плоских сечений, с другой стороны, можно записать

, (3)

где  – деформации средней оси стержня; – кривизна стержня;– радиус кривизны.
С учетом (2) и (3) можно записать

(4)

Для любого сечения стержня могут быть записаны интегральные условия

, (5)

,(6)

где.


Подставляя выражение (4) в (5) и проведя интегрирование,определяются осевые деформации стержня:

. (7)

Подставляя выражение (4) в (6) и проведя интегрирование:

, (8)

где - осевой момент инерции сечения стержня относительно оси z.
С учетом того, что  получаем окончательное разрешающее уравнение для оси стержня:

. (9)

В работах [1, 4] разрешающее уравнение было сведено к двум интегро-дифференциальным уравнениям для двух неизвестных f* и v.

, (10)

.(11)

Однако в таком виде уравнения (10) и (11) могут быть использованы только при применении уравнения связи Максвелла-Гуревича. Уравнение (9) такого недостатка лишено и может использоваться при любом уравнении связи.
Решение уравнения (9) было получено методом конечных разностей, интегралы определялись с помощью метода Симпсона.
Далее рассматриваются задачи ползучести стержня из эпоксидной смолы ЭДТ-10 и полиметилметакрилата (ПММА). При этом исходные данные взяты из работ [1, 4], т.к. в них проводится эксперимент на основе стержня из эпоксидной смолы ЭДТ-10, что позволяет сравнить результаты эксперимента с численным решением задачи. Результат для ПММА получен впервые.
Исходные данные:

, , , ,

Данные для параметров ползучести взяты из работы [2].


ЭДТ-10

ПММА

; ;
. ;

; ;
.;

Результаты расчетов представлены на рисунках 2÷5. Положительным напряжениям соответствует сжатие.



Рис.2. Рост стрелы прогиба во времени в стержне из ЭДТ-10


Рис.3. Рост напряжений в сечении стержня из ЭДТ-10 при x=l/2

 



Рис.4. Рост стрелы прогиба во времени в стержне из ПММА



Рис.5. Рост напряжений в сечении стержня из ПММА при x=l/2


Результаты расчета для стержня из ЭДТ-10 полностью совпали с экспериментальными данными. Резкий рост деформаций и напряжений наблюдается при t=2ч 40мин.Таким образом можно говорить и о возможной потери устойчивости образца из ПММА, которая по расчетам должна произойти при t=6ч 05мин.

Литература:

1. Андреев В.И. Устойчивость полимерных стержней при ползучести: дис. … канд. техн. наук. – М., 1967.
2. Бабич В.Ф. Исследование влияния температуры на механические характеристики полимеров: дис. … канд. техн. наук. – М., 1966.
3. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. – М.: Наука, 1975.
4. Языев С.Б. Устойчивость стержней при ползучести с учетом начальных несовершенств: дис. … канд. техн. наук. – Ростов-н/Д, 2010.