×

Вы используете устаревший браузер Internet Explorer. Некоторые функции сайта им не поддерживаются.

Рекомендуем установить один из следующих браузеров: Firefox, Opera или Chrome.

Контактная информация

+7-863-218-40-00 доб.200-80
ivdon@ivdon.ru

Особенности динамического возбуждения слоистых сред внутренними источниками колебаний

Аннотация

Р.Р. Кадыров, А.А. Ляпин

  Рассмотрены особенности построения эффективных решений в задачах возбуждения многослойных сред внутренними источниками колебаний. Приведены примеры численных расчетов перемещений и напряжений в среде в зависимости от положения источника и точки наблюдения.

Ключевые слова: многослойное основание, внутренний источник, гармонические колебания

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Задачи расчета поверхностных сооружений при динамических воздействиях внутренними источниками колебаний связаны с проблемами сейсмостойкого строительства, возведением зданий в зонах, близких к линиям метрополитена мелкого и среднего заложения. При этом основные особенности такого воздействия связаны как со спектральным составом возбуждения, так и  строением  неоднородного грунта. Во многих случаях грунт можно моделировать слоисто–неоднородной упругой или вязкоупругой средой.
1. Постановка задачи
Рассматривается задача возбуждения гармонических колебаний внутренним источником, заглубленным в слоисто-неоднородную полуплоскость.
Пусть область, занимаемая линейно-упругой средой представляет собой многослойную полуплоскость  (Рис. 1).

- полуплоскость;
 -j-й слой  (j=2,...,N);

Рис. 1


Физические свойства среды описываются плотностью  и скоростями распространения поперечных и продольных волн: .
Условия стыковки разнородных сред считаются жесткими с требованием непрерывности векторов перемещений и напряжений при переходе через границы раздела.
В точке с координатами  действует сосредоточенный источник гармонических с частотой   колебаний:

2.  Построение решения
Решение поставленной задачи соответствует построению матрицы фундаментальных решений точечного источника, реализация которого осуществляется с помощью принципа суперпозиции.
В  основе данного построения решения для многослойной среды лежит вывод определяющих соотношений для одного слоя с заданными на его гранях векторами напряжений. 
Пусть в локальной системе координат для -го слоя:  амплитудные функции перемещений при действии сосредоточенного в  источника имеют вид:
.
Функции  удовлетворяют уравнениям движения Ляме  [1]
,
 и - постоянные Ляме:      , .

Согласно предлагаемому методу данные функции будем разыскивать в виде
.
(При аналогичном рассмотрении полуплоскости считаем  ).
Здесь слагаемые  данного представления являются решениями уравнений Ламе для однородной полуплоскости с удовлетворением граничных условий:
,     .
Вектор перемещений  представим в виде интеграла Фурье через трансформанты вектора напряжений :
.  (1)
Контур  определен принципом предельного поглощения: обходит положительные полюса подынтегральной функции снизу, отрицательные - сверху, а на остальной части совпадает с  вещественной осью. Элементы матрицы  имеют вид:
,   ,
,      ,
,   ,
,
 - скорости распространения волн в соответствующей среде.
Аналогично формуле (1) определяются перемещения для полуплоскости  через функции , где для элементов  справедливы соотношения:
, ,    - символ Кронекера.
Определяя напряженное состояние слоя в виде суммы соответствующих решений для двух полуплоскостей, получим:
,      (2)
где
,   ,
, .
Для второй группы слагаемых найдем:
.
Соответственно функции  определяют перемещения в однородной плоскости  с параметрами рассматриваемого слоя  от действия сосредоточенного источника колебаний  в виде набора цилиндрических волн [2] и соответствуют компонентам матрицы :
.
С помощью формул переразложения [3] они могут быть записаны в преобразованном по Фурье виде:
,   k,l=1,2,
где
,,                               
,
.
Аналогично для фундаментальных решений по напряжениям получим:
.
Или в преобразованиях Фурье:
,
,
,

.
Введенные трансформанты Фурье функций напряжений  представлений (1), (2) являются неизвестными и должны быть определены из условий стыковки разнородных составляющих слоистой полуплоскости между собой. Удовлетворяя равенствам компонент векторов перемещений и напряжений при переходе через границы раздела сред в преобразованиях Фурье, получим систему линейных алгебраических уравнений с  неизвестными:
,                                                             
где  - общий вектор неизвестных напряжений для многослойной структуры.
Полученные таким образом фундаментальные решения обладают важным свойством отсутствия напряжений на дневной поверхности .

  1. Анализ численных результатов

В качестве иллюстрации характера поведения построенных фундаментальных решений исследованы зависимости компонент вектора перемещений и тензора напряжений от положения источника, точки наблюдения и свойств слоев полуплоскости.
На рис. 2 показано поведение нормальных вертикальных напряжений  в зависимости от положения источника колебаний в фиксированной точки наблюдения (с координатами (-5; 0,5)). Положение источника определяется выражением , . По анализу графика видно, что в точке наблюдения развиваются интенсивные колебания, при положении источника  внутри слоя пониженной жесткости, имеющие немонотонный характер. Максимальное значение данных напряжений превышает уровень напряжений при возбуждении среды с поверхности более чем в 10 раз.


Рис. 2

Рис. 3


На рис. 3 представлены горизонтальные перемещения , в случае возбужения среды внутренним источником колебаний, расположенном на глубине x0=5 в полуплоскости. При движении точки наблюдения от поверхности среды х = -15 в глубь х=10. Мягкая прослойка, положение которой определяется диапазоном  приводит к экранированию горизонтальных смещений выше нее. В самой же прослойке наблюдаются осциллирующие на глубине колебания, соизмеримые с колебаниями вблизи источника, которые имеют более плавный характер, по отношению к точке наблюдения.
Имеющие общие закономерности, особенности поведения напряжения состояния среды, наблюдается так же в случае наличия более жесткой прослойки, а также в сочетании жесткая - мягкая прослойка. Таким образом, структура слоистой конструкции существ образом влияет на характер волновых полей, генерируемых внутренним источником колебанием, при наблюдении, как на поверхности области, так и внутри нее.


ЛИТЕРАТУРА

1.Новацкий В.  Теория упругости. М.: Мир, 1975. –872 с.
2.Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. -М.: Мир, 1984.
3.Морс Ф.М.,  Фешбах Г.Методы теоретической физики. -Т.1. М.: Изд-во иностр. лит., 1958. –930 с.,  -Т.2. М.: Изд-во иностр. лит., 1960. –886 с.