×

Вы используете устаревший браузер Internet Explorer. Некоторые функции сайта им не поддерживаются.

Рекомендуем установить один из следующих браузеров: Firefox, Opera или Chrome.

Контактная информация

+7 961 270-60-01
ivdon@ivdon.ru

Расчетная модель гидродинамической смазки неоднородного пористого подшипника конечной длины, работающего в устойчивом нестационарном режиме трения при наличии принудительной подачи смазки

Аннотация

М.А. Мукутадзе , Б.М. Флек, Н.С. Задорожная, Е.В. Поляков, А.М. Мукутадзе

Дата поступления статьи: 08.08.2013

С целью исследования устойчивости работы пористых подшипников разработана расчетная модель неоднородного пористого подшипника конечной длины. С учетом анизотропии проницаемости пористого слоя в работе рассмотрены задачи об устойчивости движения шипа в подшипнике для двух разных вариантов подачи смазки: в осевом направлении и в направлении, перпендикулярном оси подшипника. Получены и проанализированы решения задач, определены области устойчивости движения шипа. 

Ключевые слова: пористый подшипник, режим трения, проницаемость пористого слоя, вязкоупругая смазка.

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Задача об устойчивости работы однослойных и двухслойных пористых подшипников конечной длины рассматривались в работах [1-7]. Существенным недостатком указанных работ является то, что в них проницаемость пористых слоев считается постоянной и, кроме того, не учитывается источник подачи смазки (рис. 1). В рассматриваемом случае трудно обеспечить жидкостный режим трения, так как подшипник работает за счет запаса смазки лишь в порах пористого слоя.
В настоящей работе нами, с учетом анизотропии проницаемости пористого слоя и наличия принудительной подачи смазки, приводится расчетная модель неоднородного пористого подшипника конечной длины, работающего в устойчивом нестационарном режиме трения. Здесь вначале рассматривается случай, когда смазка принудительно подается в направлении оси Oy, а затем в осевом направлении. Проницаемость задается в виде (1) (рис.1):
.   (1)
Здесь A –  заданная постоянная величина; H– толщина пористого слоя; l– безразмерный параметр, характеризующий распределение проницаемости в направлении оси Oy.  

                                        
                      
Рис. 1. Радиальный подшипник конечной длины с пористой обоймой


Гидродинамический расчет рассматриваемого подшипника нами будет производиться при следующих допущениях [1,2].
1. Толщина пористого слоя считается малой по сравнению с радиусом подшипника и в конечной модели используется короткий подшипник. Уравнение, определяющее течение смазки, в пористой матрице представляется в виде
,      (2)
где y, z – прямоугольные координаты (рис.1),  – гидродинамическое давление в пористом слое.
2. Для определения распределения давления в пленке смазки между шипом и подшипником будем исходить из модифицированного уравнения Рейнольдса в рамках модели короткого подшипника [1] .
,      (3)
где  – толщина пленки смазки, C – радиальный зазор, e  – относительный эксцентриситет, q – угловая координата, p – давление в пленке смазки, m – динамический коэффициент вязкости,  – угловые скорости соответственно подшипника, шипа и нагрузки, j  – угол положения, t – время,  – компонента скорости в направлении y на внутренней границе пористого слоя, прилегающая к зазору:
,      (4)
где – проницаемость материала пористого слоя.
Система уравнений (2)-(3) в случае подачи смазки через поры пористого слоя в направлении оси  Oy  решается при граничных условиях (рис. 1)
         при   ;                    при   ;
            при   ;                   при       (5)
где  – скорость подачи смазки,  – атмосферное давление.
В случае подачи смазки в осевом направлении граничные условия запишутся в следующем виде (рис.2, начало координат в этом случае выбрано в левом конце подшипника)
         при   ;                  при   ;
           при   ;                     при   .     (6)
Здесь  – давление в начальном сечении;  – в конечном сечении.
Переход к безразмерным переменным.
В дальнейшем предполагается, что .
Перейдем к безразмерным величинам по формулам [1]:
.     (7)
Тогда уравнения (2) и (3) принимают следующий вид:
;             (8)
,   (9)
где ; точкой обозначено дифференцирование по T.
Граничные условия (5) и (6), соответственно, примут следующий вид
         при   ;                     при   ;
            при   ;           при   ;            (10)
         при   ;                 при   ;
           при   ;            при   ,            (11)
где .
Перейдем к решению системы (8)-(9) с граничными условиями (10).
Установим закон подачи смазки в виде
  (12)
Полагая толщину пористого слоя малой, уравнение (8) осредним по толщине смазочного слоя. Тогда уравнение (8) запишется в виде
.   (13)
Решение уравнения (13), удовлетворяющее граничным условиям (10), будем искать в виде
.       (14)
Подставляя (14) в (13), приходим к следующему уравнению
.   (15)
Выполняя граничные условия (10), будем иметь:
,    ,
.     (16)
Решение уравнения (16) можно найти после определения функции , удовлетворяющей условию
.       (17)
Уравнение решается при граничных условиях
при             (18)
Полагая , с учетом граничных условий (18), для  окончательно получим следующее выражение
.    (19)
С учетом (19), уравнение (16) решается при граничных условиях
          при   .
При определении основных рабочих характеристик явный вид функций  и  нам не понадобятся.
Перейдем к случаю осевой подачи смазки (рис. 2).



Рис. 2. Радиальный подшипник конечной длины с двухслойной пористой обоймой


Решение уравнений (9) и (13), удовлетворяющих граничным условиям (11), будем искать в виде
,           .                 (20)
С учетом граничных условий (11), для определения  приходим к следующему уравнению
.      (21)
Функции  и  выражаются через функцию  в виде
,       .       (22)
Константы  и  определяются выражениями
,          (23)
Решая уравнение (21) с граничными условиями ,  при , , для  получим следующее выражение
.      (24)
С учетом (24), для определения уравнения  приходим к следующему уравнению
.         (25)
Решая уравнение (25) с граничными условиями  при , , для  окончательно получим следующее выражение
,     (26)
где ,   .
Перейдем к определению усилий масляной пленки.
При неполном заполнении смазкой зазора область положительных давлений, ограниченная углами  и , определяются из условий
;
,        .
В случае подачи смазки в направлении перпендикулярной оси подшипника через поры пористого слоя с заданной скоростью, усилия масляной пленки вычисляются интегрированием по положительной области распределения давления, определяемые формулой
     (27)
             (28)
В случае осевой модели смазки
.            (29)
.                (30)
В случае полного заполнения смазкой зазора и подачи смазки в направлении оси Oy будем иметь
;(31)
. (32)
Рассмотрим случай полного заполнения смазкой зазора и осевой подачи смазки. Используя формулу (26), будем иметь
;      (33)
.       (34)
Решение задачи на устойчивость
Безразмерные уравнения, определяющие движение шипа, записываются в следующем виде
           (35)
где  – масса ротора.
 и  – усилия масляной пленки, в случае неполного заполнения смазкой зазора они определяются формулами (27), (28), когда смазка подается перпендикулярно оси подшипника, и формулами (29) и (30) в случае осевой подачи смазки. Для случая полного заполнения смазкой зазора эти усилия определяются, соответственно, формулами (31)-(34).
Уравнения (35), определяющие движение шипа, решаются численно с учетом полученных данных (27)-(34). Компоненты ускорения ,  представляют собой явные функции параметров , , , , , , , , , , , .
Уравнения (31) записываются в стандартной форме первого порядка и решаются с помощью метода, разработанного Гиром [7].
После получения решения уравнений движения, устойчивость рассматриваемого движения определяется визуально по графику. При заданных значениях выше указанных параметров, области устойчивости приведены на рис. 3-4. Здесь все точки, которые лежат ниже кривых устойчивости, соответствуют устойчивому движению шипа, а все точки, которые лежат выше кривых, соответствуют неустойчивому движению , где  – ускорение силы тяжести.
Из зависимостей, приведенных на рис. 3 и 4, следует, что:
1. Пористый подшипник как при осевой подаче смазки, так и при подаче перпендикулярно оси, работает более устойчиво, чем пористый подшипник, работающий без подачи смазки.
2. Площадь области устойчивости, в случае подачи смазки в направлении перпендикулярной оси подшипника, расширяется в сравнении с подачей смазки в осевом направлении.
3. В случае полного заполнения смазкой зазора и учета анизотропии проницаемости пористого слоя подшипник работает более устойчиво, чем при частичном заполнении смазкой зазора и при .



Рис. 3. Схематическое изображение границ области устойчивости.


Подача смазки в направлении оси Оy ()
1 - =0,03,  =0,1;   2 - =0,03,  =0; 
3 - =0,03,  =0,1 (неполное заполнение смазкой зазора);
4 - =0,03,  =0 (неполное заполнение смазкой зазора);
5 - =0,01,  =0,1;   6 - =0,  =0; 
7 - =0,01,  =0,1 (неполное заполнение смазкой зазора);
8 - =0,01,  =0 (неполное заполнение смазкой зазора).

                                  
Рис. 4. Схематическое изображение границ области устойчивости


Осевая подача смазки ( =0,04; =0,03; =0,5; =0)
1 - =0,03,  =0,1;   2 - =0,03,  =0; 
3 - =0,03,  =0,1 (неполное заполнение смазкой зазора);
4 - =0,03,  =0 (неполное заполнение смазкой зазора);
5 - =0,01,  =0,1;   6 - =0,  =0; 
7 - =0,01,  =0,1 (неполное заполнение смазкой зазора);
8 - =0,01,  =0 (неполное заполнение смазкой зазора).

Литература:

1. Конри. Об устойчивости пористых радиальных подшипников. Конструирование и технология машиностроения / Конри, Кузано // Вестник Машиностроения.- 1974. - № 2. - С. 206-216.
2. Ахвердиев, К.С.,Об устойчивости двухслойных пористых радиальных подшипников / К.С. Ахвердиев, О.В. Муленко // Вестник РГУПС. - 2002. - № 3. – С. 5-7.
3. Кузано. Исследование коэффициента передачи упругой опоры качения в демпфере со сдавливаемой пленкой и пористой обоймой. / Кузано, Р.Е. Франк //   Проблемы трения и смазки. -  изд-во «Мир». – 1974. -  № 1, - С. 54.
4. Ахвердиев, К.С. Разработка математической модели гидродинамического расчета конических подшипников. / К.С. Ахвердиев, Б.Е. Копотун // –  Вестник РГУПС. -  2005. -  № 3. - С 5-9.
5. Ахвердиев, К.С. Нестационарная математическая модель гидродинамической смазки сложнонагруженного составного конического подшипника с пористым слоем на его рабочей поверхности с учетом его конструктивной особенности. / К.С. Ахвердиев, С.Ф. Кочетова, М.А. Мукутадзе  // -  Вестник РГУПС. -  2009 - № 1. – С. 135-143.
6. Ахвердиев, К.С. Устойчивость движения шипа в коническом подшипнике с пористым слоем на рабочей поверхности. / К.С. Ахвердиев, Б.Е. Копотун, М.А. Мукутадзе // -  Трение и износ. – 2007. – Т. 28. - № 4. – С. 361-366.
7.  Gear C.W., Numarical Initial Value Problems in Ordinary Differential Equations / C.W. Gear. -   Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs. -  N.J., 1972. – С. 52.
8. Майба, И.А., Глазунов, Д.В. Теоретическое обоснование механизма смешанной (полужидкостной) смазки в контакте «твердый оболочечный смазочный стержень-колесо-рельс» [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2012 г., №1 –  Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n1y2012/664 (доступ свободный) – Загл. с экрана. – Яз. рус.
9. Дерлугян Ф.П., Щербаков И.Н. Обоснование процесса получения композиционных антифрикционных самосмазывающихся материалов с заданными техническими характеристиками методом химического наноконструирования. [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2010 г., №4 – Режим доступа:  http://ivdon.ru/magazine/archive/n4y2010/287 (доступ свободный) – Загл. с экрана. – Яз. рус.
10. Reynolds, O. On the theory of lubrication and its application to Mr. Beauchamp Tower”s experiments / O. Reynolds. – Phil. Trans. Roy. Soc. London, 1886, vol. 177, pt. 1.