Выпучивание продольно сжатых стержней переменной жесткости при ползучести
Аннотация
Статья посвящена исследованию устойчивости полимерных стержней переменной жесткости с учетом начальных несовершенств и развития деформаций ползучести. Отличительной особенностью статьи является переменная жесткость сечения и использование закрепления концов, «заделка-шарнир» «заделка-заделка», «заделка-свободный край».
Ключевые слова: устойчивость стержней, ползучесть, высокоэластические деформации, полимерные материалы, уравнение связи Максвелла-Гуревича, переменное сечение
Подавляющее большинство исследователей рассматривают ставший «классикой» вариант закрепления балки «шарнир-шарнир».В то же время возникает вопрос расчета стержней при других вариантах закрепления. В данной статье приводится задача, где рассматривается условия крепления стержней типа «защемление-свободный край».
Пусть на стержень действует сила F, расчетная схема задачи представлена на рис.1. Стержень при этом может обладать некоторой начальной погибью v0 = f (x). Размеры стержня: d диаметр сечения, l – длина стержня. Для рассматриваемых задач в качестве уравнения состояния принималось обобщенное нелинейное уравнение Максвелла для высокоэластических деформаций котороепринимает вид:
 |
(1) |
где и ε – напряжения и деформации вдоль оси x
 |
(2) |
и
 |
(3) |
Напомним: здесь E – модуль упругости; 0* – коэффициент начальной релаксационной вязкости; E – модуль высокоэластичности; m* – модуль скорости.
Одновременно с приложением силы в стержне возникают упругие деформации. Со временемдеформации увеличиваются, благодаря другим составляющим общей деформации, в частности деформации ползучести. В случае наличия возмущающих факторов (эксцентриситет в приложении силы, начальный прогиб), то наряду с деформацией сжатия имеют место и изгибные деформации, которые с течением времени приводят стержень к разрушению.
Поскольку используемое уравнение связи для полимеров является нелинейным, то применение наиболее общего и строгого метода в настоящий момент наталкивается на непреодолимые математические трудности.
Систему из пяти уравнений чл.-корр. РААСН, проф. В.И. Андреев свел к двум уравнениям относительно двух функций f* и v
Однако разрешающие уравнения, приведенные в [1] могут быть использованы только при применении уравнения связи Максвелла-Гуревича. Поэтому необходимо получить разрешающие уравнения, лишенные этого недостатка и подходящие под любое уравнение связи. Опуская выводы, приведем разрешающее уравнение:
 |
(4) |
Решение данного уравнения аналитически не представляется возможным даже в случае значительных упрощений, вследствие его структуры решение удобно произвести методом конечных разностей, интегрирование проводится методом Симпсона.
Рассмотрим подробно редко рассматриваемый исследователями вариант «заделка – свободный край»
Рис. 2. ‒ Расчетная схема задачи при варианте закрепления «заделкасвободный край»
Задача. Рассматривается устойчивость стержни постоянного и переменного сечения при постоянной массе. Закрепление «свободный край -заделка» Материал ПММА. Стержень имеет следующие расчётные параметры:l = 157мм, d0 = 15мм, F = 70кг, E = 294 кг/мм2, f0=0,15мм
Граничные условия ля защемленного конца имеем:
На свободном конце изгибающий момент должен обратиться в нуль:
Поперечная сила на верхнем конце может быть выражена через силу F и угол поворота:
Выражая поперечную силу через прогиб и связывая ее с моментом имеем:
Примем за начальный прогиб
Окончательно на границе при x = l:
Ответ: tкр = 2,72 часа.
Для переменного по длине стержня исходные данные:
;
;
|
а.
 |
б |
Рис. 3 Результаты расчета задачи (материал – ПММА). Рост деформаций во времени по длине стержня (а) и рост нормальных напряжений во времени по высоте переменного сечения стержня (б)
Для стержняпеременногосечения по длине можно сказать, что прогиб стремиться к конечному значению, и потеря устойчивости не происходит.
Литература
1. Андреев В.И. Устойчивость полимерных стержней при ползучести: [Текст]: дис. канд. техн. наук: 01.04.19 : защищена 22.01. / Андреев Владимир Игоревич – М., 1967.
2. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. – М.: Наука, 1975.
3. Языев С.Б. Устойчивость стержней при ползучести с учетом начальных несовершенств[Текст]: дис. канд. техн. наук: 05.23.17 : защищена 27.10.10 : утв. 21.01.11 / Языев Сердар Батырович – Р/н/Д., 2010. – 115 с.