Применение базисных функций при математическом моделировании динамики кольца, базирующегося на двух опорах
Аннотация
В рамках данной статьи рассмотрена возможность ввода новой системы специальных базисных функций, удовлетворяющая условию равенства нулю перемещений конструкции в точках опор, для упрощения уравнений динамики кольца, базирующегося на двух опорах. Выполнен расчет коэффициентов базисных функций на примере линейной функции и полинома второй и тертьей степени.
Ключевые слова: кольцо, базирующееся на двух опорах, нулевые перемещения конструкции в точках опор, система базисных функций
05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
Разнообразные кольца и оболочки широко применяются в промышленности, однако механическая обработка таких конструкций достаточно сложный процесс, сопряженный с рядом проблем. Примером служит способ обработки крупногабаритных оболочек и колец по безрамной технологии, при котором кольцо располагается на двух роликах и приводится ими во вращение. В процессе вращения кольцо подвергается со стороны роликов действию периодической внешней силы и при совпадении частоты внешней силы с собственной частотой колебаний кольца возникает резонанс. Положение кольца будет нестабильным, и обработка кольца становится невозможной. Поэтому для выбора режима обработки нужно знать собственные частоты колебаний вращающегося кольца. [1]
Вращающееся на опорах кольцо представляет собой сложную систему с распределенными параметрами, поведение которой описывается дифференциальными уравнениями в частных производных. При вращении кольца в нем возникают колебания, которые и необходимо определить. Сложность вычисления повышает наличие нулевых ограничений на перемещение кольца в точках опор. [2] Задачу определения собственных частот колебаний конструкции можно решить путем представления решения в виде ряда Фурье с заданием нулевых перемещений конструкции в точках опор. При таком подходе достигается высокая точность результатов, но усложняется процесс решения вследствие возникновения дополнительных условий связи на решение, которые требуют учета в системе дифференциальных уравнений алгебраических уравнений и неопределенных множителей Лагранжа.
Таким образом, возникает вопрос о возможности решения задачи вычисления собственных частот колебаний конструкции без учета дополнительных условий связи на решение. Добиться этого можно, если изначально будет выполняться равенство нулю перемещений конструкции в точках опор, обеспечить которое можно путем ввода новой системы базисных функций. В качестве базисных функций возможно использование линейных функции, сплайн-функций, коэффициенты которых вычисляются исходя из условия равенства нулю перемещений конструкции в точках опор.
Рассмотрим конструкцию, представляющую собой кольцо, базирующееся на двух опорах (рис.1.).
Рис. 1. – Кольцо, базирующееся на двух опорах
Введем следующие обозначения:
- u, v – радиальное и тангенциальное перемещение точек кольца;
- θ – система координат связанная с кольцом, определяющая угол поворота: начало отсчета угла находится в первой точке опор, отсчет угла поворота ведется против часовой стрелки;
-
– угловые координаты точек опор - 2α – угол между опорами.
В рамках данной статьи рассматривается задача нахождения первой и второй собственной частоты колебания кольца, базирующегося на двух опорах, с использованием новой системы базисных функций.
Точки опор разбивают координатную прямую на два участка, заключенных между ними:
-
первый участок, заключенный между точками
, -
второй участок, заключенный между точками
.
Для каждого из этих отрезков необходимо провести ввод своей собственной новой базисной функции и выполнить необходимые вычисления, после чего объединить полученные результаты и получить окончательный ответ.
В качестве базисных функций используем линейные функции вида 
, при этом неизвестные коэффициенты k0, k1, которые вычисляются исходя из равенства нулю перемещений кольца в точках опор.
Зададим перемещения точек кольца в виде ряда Фурье, используя синус угла поворота точки кольца:
(1)
где:
- A – коэффициент пропорциональности, задающий амплитуду колебаний кольца пропорционально дуге участка кольца, заключенной между точками опор:
для дуги, содержащей первый участок кольца;
для дуги, содержащей второй участок кольца.
- bui, bvi – неизвестные обобщенные координаты;
- θ – угол, задающий положение точки кольца.
Система функций (1) при подстановке координат точек опор не обращается в равное нулю тождество, значит, не удовлетворяет нулевым перемещением кольца в точках опор. Поэтому необходимо выполнить замену аргумента θ на новый аргумент x, таким образом, чтобы заданное выше условие выполнялось.
В качестве замены аргумента используем линейную функцию 
, где неизвестные коэффициенты k0, k1 вычисляются для каждого из двух участков кольца, исходя из условия нулевых значений функции 
в точках опор. Для нахождения коэффициентов k0, k1 необходимо решить следующие системы уравнений:
-
1.для первого участкафункция
, тогда система уравнений имеет вид:
-
2.для второго участка функция
, тогда система уравнений имеет вид:
Решив полученные системы уравнений, получили следующие значения коэффициентов базисных функций: 
.
Таким образом, на каждом из двух участков кольца, получим следующие формулы для вычисления перемещений точек кольца с использованием новой системы базисных линейных функций.
На первом участке кольца:
.
На втором участке кольца:
.
Полученные уравнения удовлетворяют равенству нулю в точках опор перемещений базирующегося на двух опорах кольца, поэтому их можно использовать при расчетах без учета в системе дифференциальных уравнений алгебраических уравнений и неопределенных множителей Лагранжа.
Кроме линейных функций возможно использование в качестве базисных и нелинейных функций. При применении функций порядка большего, чем первый, например, полиномы второй степени и выше, необходимо обеспечить выполнение равенства перемещений точек кольца в точках опор нулю и равенство значений производных функций друг другу в точках опор. В рамках данной статьи рассмотрим возможность использования полинома второй и третьей степени.
При использовании полинома второй степени новая система базисных функций состоит из функций вида 
. Неизвестные коэффициенты базисных функций каждого из двух участков кольца вычисляется исходя из условия нулевых значений функции 
в точках опор.
Для нахождения неизвестных коэффициентов на каждом из двух участков кольца необходимо решить следующую систему уравнений:
На первом участке кольца:
.
На втором участке кольца:
.
Решая полученную систему уравнений по правилу Крамера, вычислили главный определитель системы, который оказался равен нулю, а вспомогательный определитель для коэффициента k11 оказался не нулевым, значит, система решений не имеет.
Таким образом, определили, что полином второй степени нельзя использовать для замены аргумента в исходных формулах перемещений точек кольца при заданных начальных условиях.
При использовании в качестве замены аргумента полинома третьей степени имеем:
- на первом участке кольца:
.
- на втором участке кольца:
.
Для нахождения коэффициентов k0, k1, k2, k3 на каждом из двух участков кольца, заключенных между точками опор, необходимо решить следующую систему уравнений:
Главный определитель полученной системы не равен нулю, поэтому по правилу Крамера эта система имеет единственное решение.
Решив систему линейных уравнений, для каждого из двух участков кольца, запишем формулы для вычисления перемещений точек кольца, полученные путем ввода новой системы базисных функций.
На первом участке кольца:
.
На втором участке кольца:
Аналогичные действия необходимо выполнить для использования в качестве базисной функции полинома степени выше третьей.
Используя полученные зависимости для вычисления перемещений точек кольца, можно составить дифференциальных уравнений, описывающих поведение кольца, базирующегося на двух опорах, на основании уравнения Лагранжа второго рода.
Кинетическая энергия не вращающегося кольца вычисляется по формуле:
Потенциальная энергия вычисляется по формуле:
.
где
J – момент инерции сечения кольца
r – радиус средней линии кольца,
h – толщина кольца,
a – ширина кольца,
E – модуль упругости кольца,
ρ – удельная плотность кольца.
Предполагаем, что радиус кольца остается постоянным. [3]
Подставим вместо аргумента θ полученные базисные функции в формулы для вычисления кинетической и потенциальной энергии, соответственно для первого и второго участка кольца. Продифференцируем полученные зависимости по обобщенным координатам и их производным и подставим в уравнение Лагранжа второго рода. В итоге получим систему дифференциальных уравнений для обобщенных координат bui, bvi. Решая полученную систему уравнений, найдем искомую собственную частоту ω колебаний кольца, базирующегося на двух опорах.
Литература
1.Серов, В.В., Дуганов, В.Я. Определение собственных частот колебаний массивного вращающегося кольца [Электронный ресурс], 2006 г. – Режим доступа: http://www.rusnauka.com/ONG_2006/Matemathics/17845.doc.htm (доступ свободный) – Загл. с экрана.- Яз. рус.
2.Полунин, А.И. Математическое моделирование динамики упругой вращающейся оболочки с опорами [Текст]: Монография / А.И. Полунин. – Белгород: Изд-во БГТУ, 2008.
3.Бабаков И.М. Теория колебаний [Текст]: М.: «Наука», 1968 ─ 560 с.