×

Вы используете устаревший браузер Internet Explorer. Некоторые функции сайта им не поддерживаются.

Рекомендуем установить один из следующих браузеров: Firefox, Opera или Chrome.

Контактная информация

+7-863-218-40-00 доб.200-80
ivdon@ivdon.ru

Описание потенциальной функции для уточненного уравнения линий тока

Аннотация

В.Н. Коханенко, М.Ф. Мицик, О.А. Алейникова

Дата поступления статьи: 27.06.2013

В настоящей работе предлагается уточненное описание потенциальной функции при свободном растекании бурного стационарного двухмерного планового потока. В отличии от предыдущего решения, новое удовлетворяет условиям неразрывности параметров течения при выходе потока из прямоугольной трубы в отводящее русло. 

Ключевые слова: крайняя линия тока, эквипотенциали, прямоугольная труба, горизонтальное отводящее русло

05.23.16 - Гидравлика и инженерная гидрология

Определение параметров свободного растекания потока за водопропускными отверстиями в широкое отводящее русло имеет важное прикладное значение для проектирования сооружений дорожного водоотвода. При этом полагают дно отводящего русла горизонтальным, а поток двухмерным в плане.
В работах [1, 2, 3] показано, что силами сопротивления потоку в области крепления отводящего русла можно пренебречь. Поэтому дополнительно полагаем поток потенциальным и стационарным. Выводы применимости полученного результата сделаем по степени адекватности модели и реального потока по его параметрам.
Рассмотрим схему течения потока в плане.


 

Рисунок 1 – План растекания потока в терминах линия тока, эквипотенциаль


Для формулировки задачи в физической плоскости течения сформулируем свойства бурного потока. Известны параметры  на выходе потока из прямоугольного безнапорного отверстия в широкое отводящее русло:
 глубина потока;
 модуль вектора скорости;
 ширина выходного отверстия.
Перейдем от физической плоскости течения потока [4, 5] к использованию уравнений движения потока в плоскости годографа скорости. Система уравнений движения потока в плоскости годографа скорости представлена в форме [6]:
        (1)
где:    потенциальная функция;
 функция тока;
 угол между вектором скорости жидкой частицы потока и осью ОХ;
 нормированный модуль вектора скорости.
В работе [7] получено уравнение крайней линии тока в виде
       (2)
где:    
Найдем уравнение для произвольной эквипотенциали. Воспользуемся сначала первым уравнением из (1). Для этого найдем из (2)
    (3)

Подставим выражение (3) в первое уравнение системы (1), получим уравнение

или
            (4)
Интегрирование уравнения (4) по переменной  приводит к зависимости
           (5)
где  неизвестная функция по переменной .
Для нахождения  воспользуемся вторым уравнением системы (1).
Вычисляем производную по  от потенциальной функции  в форме (5)
(6)
Найдем производную
          (7)
Подставим выражения (6) и (7) во второе уравнение системы (1), получим
      (8)
Нетрудно видеть, что после упрощений уравнение (8) преобразуется к виду

или                 (9)
Таким образом, искомое выражение для потенциальной функции имеет вид
          (10)
Функция (10) является решением уравнения (1) при любом значении постоянной , в частности, при  Значение константы  может быть определено в конкретной двухмерной плановой задаче.
Изучим поведение каждого из слагаемых, входящих в выражение для потенциальной функции. Пусть  Представим потенциальную функцию в форме
          (11)
где:   ;  
Рассмотрим отношение

       (12)
Найдем значение величины
       (13)
Упростим правую часть равенства (12)
       (14)
Как известно из [1], вниз по течению потока , соответственно в выражении , что нетрудно видеть из (14), числитель стремится к нулю, а знаменатель всегда отличен от нуля. Таким образом,  при , то есть вниз по течению потока в формуле (11) влияние первого слагаемого становится преобладающим.
Плановые задачи гидравлики решаются также и численными методами [8, 9, 10], однако аналитические методы решения двухмерных плановых задач позволяют более глубоко и всесторонне изучить свойства двухмерных бурных потоков.

Выводы по работе.

  1. Выражение для потенциальной функции в виде (11) соответствует качественно и количественно экспериментальным данным (неразрывности по параметрам потока, адекватности модели).
  2. Роль слагаемого  в выражении (11) асимптотически уменьшается с ростом  вниз по течению потока.

Литература:

1. Коханенко, В.Н. Моделирование одномерных и двухмерных открытых водных потоков [Текст]: монография / В.Н. Коханенко, Я.В. Волосухин, В.В. Ширяев, Н.В. Коханенко; под общей ред. В.Н. Коханенко. – Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ, 2007. – 168 с.
2. Ширяев, В.В. Развитие теории двухмерных открытых водных потоков [Текст]: монография / В.В. Ширяев, М.Ф. Мицик, Е.В. Дуванская: под общей ред. В.В. Ширяева. – Шахты: Изд-во ЮРГУЭС, 2007. – 133 с.
3. Takeda, R. Theoretical research an propeller type current meters [Текст] / R. Takeda // Trans. ASME. – 1975, A. 97, № 4. – Р. 599-602.
4. Мицик, М.Ф. Моделирование потенциальной функции двухмерного планового потока в параметрической форме [Текст] // Математические методы в технике и технологиях: Сб. тр. VI межд. науч. конф. / Под общей ред. В.С. Балакирева. – РТАСМ ГОУ, Ростов н/Д, 2003. – Т. 7, секция 7.  – С. 103-104.
5. Мицик, М.Ф. Растекание двухмерного планового потока в нижнем бьефе водопропускных сооружений [Текст]: дисс. на соиск. уч. степ. канд. техн. наук. – Новочеркасск, 2006. – 238 с.
6. Косиченко, Н.В. Анализ изучения и уточнения методов свободного растекания потока за безнапорными водопропускными отверстиями [Текст] / Н.В. Косиченко // Вестник СГАУ. – Саратов, 2011, № 9. – С. 27-33.
7. Коханенко В.Н., Мицик М.Ф., Косиченко Н.В. Уточненное уравнении крайней линии тока в плоскости годографа скорости в задаче свободного растекания бурного потока за безнапорными водопропускными трубами // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2013. №1. С. 33-35.
8. Takeda, R. The influence of turbulence on the characteristic of the propeller current meters [Текст] / R. Takeda, M. Kawanami // Trans. Soc. Mtch. Eng.– 1978, № 383. – V. 44. – P. 2389- 2394.
9. Онишкова А.М. Численное решение задачи для плоской области со свободной границей. [Электронный ресурс]  // «Инженерный вестник Дона», 2012, №4. – Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n4p1y2012/1205 (доступ свободный) – Загл. с экрана. – Яз. рус.
10. Хекмат К. Двумерная математическая модель жидкости водоема с учетом наличии на поверхности ледяной пластины [Электронный ресурс]  // «Инженерный вестник Дона», 2011, №4. – Режим доступа: http://www.ivdon.ru/magazine/archive/n4y2011/583 (доступ свободный) – Загл. с экрана. – Яз. рус.